北京科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3．设两个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的定义如下：
$$
a_{1}=3, b_{1}=2, a_{n+1}=a_{n}+2 b_{n}, b_{n+1}=a_{n}+b_{n}, n=1,2, \cdots
$$
而数列 $\displaystyle c_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立数列c_n的递推关系
由定义，$c_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}$，代入递推式$a_{n+1}=a_n+2b_n$，$b_{n+1}=a_n+b_n$，得：
$$c_{n+1}=\frac{a_n+2b_n}{a_n+b_n}$$
分子分母同时除以$b_n$（因为$b_n>0$显然成立），得到：
$$c_{n+1}=\frac{\frac{a_n}{b_n}+2}{\frac{a_n}{b_n}+1}=\frac{c_n+2}{c_n+1}$$
初始值：$c_1=\frac{a_1}{b_1}=\frac{3}{2}$。
公式：c_{n+1}=\frac{c_n+2}{c_n+1}
提示：注意除以b_n时需确保b_n不为0，由递推可知b_n始终为正整数，故安全。
步骤 2/4
目标：假设极限存在并求解不动点
若极限$\lim_{n\to\infty}c_n=L$存在，则对递推式两边取极限得：
$$L=\frac{L+2}{L+1}$$
解方程：$L(L+1)=L+2$，即$L^2+L=L+2$，化简得$L^2=2$，故$L=\sqrt{2}$（取正值，因为所有$c_n>0$）。
公式：L=\frac{L+2}{L+1} \Rightarrow L^2=2
提示：解方程时注意舍去负根，因为数列各项均为正数。
步骤 3/4
目标：验证数列的单调性与有界性
计算前几项观察趋势：
$c_1=1.5$，$c_2=\frac{1.5+2}{1.5+1}=1.4$，$c_3\approx1.4167$，$c_4\approx1.4138$，可见数列在$\sqrt{2}\approx1.4142$附近摆动并趋近。
考虑函数$f(x)=\frac{x+2}{x+1}$，其导数$f'(x)=\frac{-1}{(x+1)^2}$。当$x>0$时，$|f'(x)|<1$，故$f$是压缩映射，迭代收敛到唯一不动点。初始值$c_1=1.5>0$，因此数列收敛。
公式：f'(x)=\frac{-1}{(x+1)^2}
提示：压缩映射的证明需要导数绝对值小于1，这里x>0时成立，注意定义域。
步骤 4/4
目标：得出极限值
由以上分析，数列$\{c_n\}$收敛，且极限为不动点方程的正根，故：
$$\lim_{n\to\infty}c_n=\sqrt{2}$$
公式：\lim_{n\to\infty}c_n=\sqrt{2}
提示：最终答案需化简为最简形式，即$\sqrt{2}$。
步骤 5/5
目标：得出极限值
综合以上分析，数列 $\{c_n\}$ 收敛，且极限为不动点中的正数，故 $\lim_{n \to \infty} c_n = \sqrt{2}$。
公式：\lim_{n \to \infty} c_n = \sqrt{2}
提示：最终结果需明确写出，并注意与初始值比较验证合理性。
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