北京科技大学 2025年数学分析第0题

设步长 $h = \frac{b-a}{n}$，则 $x_i = a + ih$。将积分区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$，其中 $x_0 = a$。于是 \[ A_n = \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i) - \int_a^b f(x) \, dx = \sum_{i=1}^n \left[ h f(x_i) - \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) \, dx \right]. \]

考虑第 $i$ 个小区间上的误差 $E_i = h f(x_i) - \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) \, dx$。利用 $f(x) - f(x_i) = -\int_x^{x_i} f'(t) \, dt$，有 \[ E_i = -\int_{x_{i-1}}^{x_i} [f(x) - f(x_i)] \, dx = \int_{x_{i-1}}^{x_i} \int_x^{x_i} f'(t) \, dt \, dx. \] 交换积分次序：区域为 $t \in [x_{i-1}, x_i]$，对每个 $t$，$x$ 从 $x_{i-1}$ 到 $t$，得 \[ E_i = \int_{x_{i-1}}^{x_i} f'(t) \left( \int_{x_{i-1}}^{t} dx \right) dt = \int_{x_{i-1}}^{x_i} f'(t) (t - x_{i-1}) \, dt. \]

将每个小区间的误差 $E_i$ 代入 $A_n$ 的表达式，得到 \[ A_n = \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} f'(t) (t - x_{i-1}) \, dt = \int_a^b f'(t) \phi_n(t) \, dt, \] 其中 $\phi_n(t) = t - x_{i-1}$ 当 $t \in [x_{i-1}, x_i]$，即 $\phi_n(t)$ 是分段线性函数，在每个小区间上从 $0$ 线性增加到 $h$。

注意到 $\phi_n(t)$ 在每个小区间上的平均值为 $\frac{h}{2}$，因此可写为 \[ \phi_n(t) = \frac{h}{2} + \psi_n(t), \] 其中 $\psi_n(t) = t - x_{i-1} - \frac{h}{2}$ 在 $[x_{i-1}, x_i]$ 上，且在每个小区间上积分为零：$\int_{x_{i-1}}^{x_i} \psi_n(t) \, dt = 0$。于是 \[ A_n = \frac{h}{2} \int_a^b f'(t) \, dt + \int_a^b f'(t) \psi_n(t) \, dt = \frac{h}{2}[f(b)-f(a)] + \int_a^b f'(t) \psi_n(t) \, dt. \]

由于 $h = \frac{b-a}{n}$，有 \[ n A_n = \frac{b-a}{2}[f(b)-f(a)] + n \int_a^b f'(t) \psi_n(t) \, dt. \] 现在需要证明 $n \int_a^b f'(t) \psi_n(t) \, dt \to 0$ 当 $n \to \infty$。将积分按小区间分段： \[ \int_a^b f'(t) \psi_n(t) \, dt = \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} f'(t) \psi_n(t) \, dt. \] 在每个小区间上，用中点 $c_i = \frac{x_{i-1}+x_i}{2}$ 展开 $f'(t) = f'(c_i) + O(h)$，由于 $\int \psi_n = 0$，第一项贡献为零，第二项贡献为 $O(h) \cdot \int |\psi_n| = O(h) \cdot O(h^2) = O(h^3)$。求和得 $n \cdot O(h^3) = O(h^2) = O(1/n^2)$，乘以 $n$ 后为 $O(1/n) \to 0$。

由以上分析， \[ \lim_{n \to \infty} n A_n = \frac{b-a}{2}[f(b)-f(a)] + 0 = \frac{b-a}{2}[f(b)-f(a)]. \] 证毕。

综合以上步骤，得到 $\lim_{n\to\infty} n A_n = \frac{b-a}{2}[f(b)-f(a)]$。