北京科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
九．（10分）计算二重积分
$$
\iint_{D}(x \sin \alpha-y \cos \alpha)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
这里 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1\right., a>0, b>0\right\}, \alpha$ 为常数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数的结构
被积函数为 $(x \sin \alpha - y \cos \alpha)^2$，可视为向量 $(x,y)$ 与方向 $(\sin\alpha, -\cos\alpha)$ 的点积的平方。设 $u = x \sin \alpha - y \cos \alpha$，则被积函数为 $u^2$。
公式：u = x \sin \alpha - y \cos \alpha
提示：注意被积函数是平方形式，可考虑通过坐标变换化为单一变量的平方。
步骤 2/5
目标：采用先伸缩后旋转的坐标变换
令 $X = \frac{x}{a}$，$Y = \frac{y}{b}$，则椭圆区域 $D$ 变为单位圆 $X^2 + Y^2 \leq 1$。雅可比行列式为 $ab$，故 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = ab\,\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$。被积函数化为 $(aX\sin\alpha - bY\cos\alpha)^2$。积分变为：
$$I = ab \iint_{X^2+Y^2\leq 1} (aX\sin\alpha - bY\cos\alpha)^2 \,\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$$
公式：I = ab \iint_{X^2+Y^2\leq 1} (aX\sin\alpha - bY\cos\alpha)^2 \,\mathrm{d}X\mathrm{d}Y
提示：伸缩变换将椭圆变为圆，便于利用圆的对称性。注意雅可比因子 $ab$ 不要遗漏。
步骤 3/5
目标：利用圆的对称性简化被积函数
记向量 $\mathbf{p} = (a\sin\alpha,\; -b\cos\alpha)$，则 $aX\sin\alpha - bY\cos\alpha = \mathbf{p}\cdot (X,Y)$。由于单位圆具有旋转对称性，可旋转坐标使 $\mathbf{p}$ 方向与 $U$ 轴重合，此时被积函数变为 $\|\mathbf{p}\|^2 U^2$，且 $\iint U^2 \,\mathrm{d}X\mathrm{d}Y = \iint X^2 \,\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$。因此：
$$\iint_{X^2+Y^2\leq 1} (aX\sin\alpha - bY\cos\alpha)^2 \,\mathrm{d}X\mathrm{d}Y = (a^2\sin^2\alpha + b^2\cos^2\alpha) \iint_{X^2+Y^2\leq 1} X^2 \,\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$$
公式：\|\mathbf{p}\|^2 = a^2\sin^2\alpha + b^2\cos^2\alpha
提示：旋转不改变区域形状和面积元，且 $\iint X^2 = \iint Y^2$ 由对称性保证。
步骤 4/5
目标：计算单位圆上的积分 $\iint X^2 \,\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$
由对称性 $\iint X^2 = \iint Y^2$，故 $\iint X^2 = \frac{1}{2}\iint (X^2+Y^2) \,\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$。使用极坐标：$X=r\cos\phi,\; Y=r\sin\phi$，则：
$$\iint_{X^2+Y^2\leq 1} (X^2+Y^2) \,\mathrm{d}X\mathrm{d}Y = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int_0^1 r^2 \cdot r \,\mathrm{d}r = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$$
因此 $\iint X^2 \,\mathrm{d}X\mathrm{d}Y = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$。
公式：\iint_{X^2+Y^2\leq 1} X^2 \,\mathrm{d}X\mathrm{d}Y = \frac{\pi}{4}
提示：极坐标变换时注意面积元为 $r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi$，积分限不要出错。
步骤 5/5
目标：代回原积分并整理结果
将上一步结果代入：
$$\iint_{X^2+Y^2\leq 1} (aX\sin\alpha - bY\cos\alpha)^2 \,\mathrm{d}X\mathrm{d}Y = (a^2\sin^2\alpha + b^2\cos^2\alpha) \cdot \frac{\pi}{4}$$
再乘以因子 $ab$，得：
$$I = ab \cdot \frac{\pi}{4} (a^2\sin^2\alpha + b^2\cos^2\alpha)$$
最终结果为：
$$\boxed{\frac{\pi ab}{4}(a^2\sin^2\alpha + b^2\cos^2\alpha)}$$
公式：I = \frac{\pi ab}{4}(a^2\sin^2\alpha + b^2\cos^2\alpha)
提示：最终答案需化简为最简形式，注意 $a,b>0$ 的条件。
步骤 6/6
目标：化简最终结果
将上一步结果化简：
$$
\iint_D (x \sin \alpha - y \cos \alpha)^2 \, dx dy = \frac{\pi a b}{2} \left( b^2 \cos^2\alpha + a^2 \sin^2\alpha \right)
$$
公式：\iint_D (x \sin \alpha - y \cos \alpha)^2 \, dx dy = \frac{\pi a b}{2} \left( b^2 \cos^2\alpha + a^2 \sin^2\alpha \right)
提示：最终结果对称美观，可验证当 $a=b$ 时退化为圆的情况。
步骤 7/7
目标：合并结果得到最终答案
将 $r$ 积分和 $\theta$ 积分结果代入：
$$I = ab \cdot \frac{1}{4} \cdot \pi (a^2 \sin^2\alpha + b^2 \cos^2\alpha) = \frac{\pi ab}{4} (a^2 \sin^2\alpha + b^2 \cos^2\alpha).$$
提示：最终结果要化简，注意系数 $\frac{\pi ab}{4}$。
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