北京科技大学 2025年数学分析第0题

设 $T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) g\left(\frac{i}{n}\right)$，由 $f(x)g(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积，知 $\lim_{n\to\infty} T_n = \int_0^1 f(x)g(x)\,dx$。原和式记为 $S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) g\left(\frac{i-1}{n}\right)$。只需证明 $S_n - T_n \to 0$。

计算差值：$S_n - T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) \left[ g\left(\frac{i-1}{n}\right) - g\left(\frac{i}{n}\right) \right]$。由于 $f$ 在 $[0,1]$ 上可积，故有界，存在 $M>0$ 使得 $|f(x)| \le M$ 对所有 $x\in[0,1]$ 成立。于是 $|S_n - T_n| \le \frac{M}{n} \sum_{i=1}^n \left| g\left(\frac{i-1}{n}\right) - g\left(\frac{i}{n}\right) \right|$。

令 $\omega_i = \sup_{x,y \in [(i-1)/n, i/n]} |g(x)-g(y)|$ 为 $g$ 在第 $i$ 个小区间上的振幅。则 $\left| g\left(\frac{i-1}{n}\right) - g\left(\frac{i}{n}\right) \right| \le \omega_i$。由 $g$ 在 $[0,1]$ 上可积，其达布上和与下和之差趋于0，即 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \omega_i \to 0$（因为振幅和乘以 $1/n$ 是达布和差值的上界）。

由前两步，$|S_n - T_n| \le M \cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \omega_i \to 0$，故 $S_n - T_n \to 0$。又 $T_n \to \int_0^1 f(x)g(x)\,dx$，因此 $S_n \to \int_0^1 f(x)g(x)\,dx$。

由前两步，$|D_n| \le M \cdot \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |\Delta g_i| \right) \to 0$，故 $D_n \to 0$。于是原极限等于标准黎曼和的极限，即 \[ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) g\left(\frac{i-1}{n}\right) = \int_0^1 f(x)g(x)\,dx. \]