北京科技大学 2025年数学分析第0题

将单位圆参数化为 $x = \cos\theta$, $y = \sin\theta$, $\theta \in [0, 2\pi]$。定义 $g(\theta) = f(\cos\theta, \sin\theta)$。由于 $f$ 在单位圆上有连续的偏导数，$g(\theta)$ 在 $[0, 2\pi]$ 上连续可微。条件 $f(0,1)=f(1,0)$ 转化为 $g(\pi/2) = f(0,1) = f(1,0) = g(0)$。

对 $g(\theta)$ 求导：$g'(\theta) = f_x \cdot (-\sin\theta) + f_y \cdot \cos\theta$。要证明的方程 $y f_x = x f_y$ 在参数形式下为 $\sin\theta \, f_x = \cos\theta \, f_y$，移项得 $-\sin\theta \, f_x + \cos\theta \, f_y = 0$，即 $g'(\theta)=0$。因此问题转化为证明在 $[0,2\pi]$ 上至少存在两个不同的 $\theta$ 使得 $g'(\theta)=0$。

已知 $g(0) = g(\pi/2)$，且 $g$ 在 $[0, \pi/2]$ 上连续可微。由罗尔定理，存在 $\theta_1 \in (0, \pi/2)$ 使得 $g'(\theta_1)=0$。

由于 $g$ 是周期为 $2\pi$ 的函数，有 $g(\pi/2) = g(0) = g(2\pi)$。考虑区间 $[\pi/2, 2\pi]$，$g$ 在此区间上连续可微且 $g(\pi/2) = g(2\pi)$。由罗尔定理，存在 $\theta_2 \in (\pi/2, 2\pi)$ 使得 $g'(\theta_2)=0$。显然 $\theta_1$ 与 $\theta_2$ 不同，因为 $\theta_1 \in (0, \pi/2)$，$\theta_2 \in (\pi/2, 2\pi)$。

由 $g'(\theta)=0$ 等价于 $y f_x = x f_y$，因此 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 对应单位圆上两个不同的点 $(\cos\theta_1, \sin\theta_1)$ 和 $(\cos\theta_2, \sin\theta_2)$，在这些点上满足方程 $y \frac{\partial f}{\partial x} = x \frac{\partial f}{\partial y}$。故在单位圆上至少存在两点满足该方程。

因此，存在两个不同的 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 使得 $g'(\theta)=0$，即对应单位圆上两个不同的点满足 $y f_x = x f_y$。原命题得证。