北京科技大学 2025年数学分析第0题

考虑函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$，其中 $u_n(x) = \frac{2x^2}{1+n^3 x^4}$，定义域为 $[0,+\infty)$。当 $x=0$ 时，每一项为0，级数收敛于0。对于 $x>0$，直接放缩 $\frac{2x^2}{1+n^3 x^4} \le \frac{2x^2}{n^3 x^4} = \frac{2}{n^3 x^2}$ 得到的上界依赖于 $x$，不能用于一致控制，因此需要寻找通项在区间上的最大值。

对固定的 $n$，令 $f_n(x) = \frac{2x^2}{1+n^3 x^4}$。求导得 $f_n'(x) = \frac{4x(1+n^3 x^4) - 2x^2 \cdot 4n^3 x^3}{(1+n^3 x^4)^2} = \frac{4x - 4n^3 x^5}{(1+n^3 x^4)^2}$。令 $f_n'(x)=0$，得 $4x(1 - n^3 x^4)=0$，解得 $x=0$ 或 $x = n^{-3/4}$。

计算 $f_n(n^{-3/4}) = \frac{2 n^{-3/2}}{1 + n^3 \cdot n^{-3}} = \frac{2 n^{-3/2}}{2} = n^{-3/2}$。因此对任意 $x \ge 0$，有 $0 \le u_n(x) \le n^{-3/2}$。而数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{-3/2}$ 是 $p=3/2>1$ 的收敛p-级数。由Weierstrass M-判别法，原级数在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。

考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n(x)$，其中 $v_n(x) = \frac{n^2}{1+n^4 x^2}$，定义域为 $(0,1)$。对任意固定的 $x \in (0,1)$，当 $n \to \infty$ 时，$v_n(x) \sim \frac{n^2}{n^4 x^2} = \frac{1}{n^2 x^2}$。由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛，由比较判别法知原级数在每点 $x \in (0,1)$ 收敛。

为证明非一致收敛，需说明余项不能一致趋于0。取 $x_N = \frac{1}{N^2} \in (0,1)$，考虑第 $N$ 项：$v_N(x_N) = \frac{N^2}{1+N^4 \cdot (1/N^4)} = \frac{N^2}{2}$。当 $N \to \infty$ 时，$v_N(x_N) \to \infty$，因此通项在 $(0,1)$ 上不一致趋于0。根据函数项级数一致收敛的必要条件（通项一致趋于0），原级数在 $(0,1)$ 上非一致收敛。