北京科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4．讨论积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} e^{-\alpha x} \frac{\cos x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 在 $0 \leq \alpha<+\infty$（ $p>0$ 是常数）的一致收敛性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确问题与目标
讨论含参变量积分 $I(\alpha)=\int_{1}^{+\infty} e^{-\alpha x} \frac{\cos x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 在参数 $\alpha \in [0,+\infty)$（$p>0$ 为常数）上的一致收敛性。
公式：I(\alpha)=\int_{1}^{+\infty} e^{-\alpha x} \frac{\cos x}{x^{p}} \mathrm{~d} x
提示：注意参数范围包含端点 $\alpha=0$，此处指数因子消失，积分条件变差。
步骤 2/6
目标：回忆一致收敛的判别方法
常用魏尔斯特拉斯M判别法：若存在与 $\alpha$ 无关的可积函数 $M(x)$，使得 $|f(x,\alpha)| \le M(x)$ 且 $\int_a^{+\infty} M(x) \mathrm{d}x$ 收敛，则原积分一致收敛。另外，柯西准则可用于否定一致收敛。
公式：|f(x,\alpha)| \le M(x), \quad \int_1^{+\infty} M(x) \mathrm{d}x < +\infty
提示：M判别法要求优函数与参数无关，若参数范围包含使衰减变慢的点（如 $\alpha=0$），需特别小心。
步骤 3/6
目标：分析 $p>1$ 的情形
当 $p>1$ 时，对任意 $\alpha \ge 0$，有 $|e^{-\alpha x} \frac{\cos x}{x^p}| \le \frac{1}{x^p}$。由于 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x$ 收敛（$p>1$），由M判别法知积分在 $\alpha \in [0,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：|f(x,\alpha)| \le \frac{1}{x^p}, \quad \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x = \frac{1}{p-1}
提示：这里 $\frac{1}{x^p}$ 是有效的优函数，因为 $e^{-\alpha x} \le 1$ 对所有 $\alpha \ge 0$ 成立。
步骤 4/6
目标：分析 $0
当 $0
公式：\left|\int_n^{2n} e^{-\alpha_n x} \frac{\cos x}{x^p} \mathrm{d}x\right| \ge e^{-2} \cdot \frac{1}{(2n)^p} \cdot \left|\int_n^{2n} \cos x \mathrm{d}x\right|
提示：注意 $\int_n^{2n} \cos x \mathrm{d}x = \sin(2n) - \sin(n)$ 不恒为零，其绝对值有正下界（例如取 $n=2k\pi$ 时值为0，但可选取适当 $n$ 使其非零）。
步骤 5/6
目标：严格证明 $0
利用一致收敛的柯西准则的否定形式：存在 $\varepsilon_0 > 0$，对任意 $A>0$，存在 $A_2 > A_1 > A$ 及 $\alpha \in [0,+\infty)$，使得 $\left|\int_{A_1}^{A_2} f(x,\alpha) \mathrm{d}x\right| \ge \varepsilon_0$。取 $\varepsilon_0 = \frac{e^{-2}}{2}$，对任意大的 $N$，令 $\alpha = \frac{1}{N}$，$A_1 = N$，$A_2 = 2N$。由于 $\cos x$ 在 $[N, 2N]$ 上的积分绝对值可达到 $\frac{1}{2}N$（例如取 $N$ 使区间包含完整的余弦波峰），且 $e^{-\alpha x} \ge e^{-2}$，$x^{-p} \ge (2N)^{-p}$，则积分绝对值 $\ge e^{-2} \cdot (2N)^{-p} \cdot \frac{N}{2} = \frac{e^{-2}}{2^{p+1}} N^{1-p}$。当 $0 A$ 即可使积分绝对值大于 $\varepsilon_0$，故不一致收敛。
公式：\left|\int_N^{2N} e^{-x/N} \frac{\cos x}{x^p} \mathrm{d}x\right| \ge \frac{e^{-2}}{2^{p+1}} N^{1-p} \quad (0
提示：需确保 $\cos x$ 的积分有正下界，可通过选取 $N$ 为 $2k\pi + \pi/2$ 使 $\int_N^{2N} \cos x \mathrm{d}x = \sin(2N)-\sin(N)$ 达到 $\pm 2$ 量级，从而保证下界。
步骤 6/6
目标：综合结论
综上所述：
- 当 $p>1$ 时，积分在 $\alpha \in [0,+\infty)$ 上一致收敛。
- 当 $0
公式：\text{一致收敛} \iff p>1
提示：注意 $p=1$ 是临界情形，此时积分条件收敛但非一致收敛。
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