北京科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
八．（15 分）设 $\displaystyle \Omega$ 是不含原点的有界闭区域，其体积为 $V$ ，其边界 $S$ 为光滑的简单闭曲面，$\displaystyle n= (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为 $S$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的单位外法向量． $\displaystyle \mathbf{r}=(x, y, z),(\mathbf{n}, \mathbf{r})$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 与 $\displaystyle \mathbf{r}$ 的夹角， $\displaystyle f(t)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续可微函数，且满足 $\displaystyle t f^{\prime}(t)+2 f(t)-t=0$ ，计算积分
$$
\iint_{S} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \cos (n, r) \mathrm{d} S
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：转化被积函数形式
由 $\cos(n, r) = \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$，记 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，则原积分化为：
$$\iint_{S} f(r) \cos(n, r) \, \mathrm{d}S = \iint_{S} \frac{f(r)}{r} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}) \, \mathrm{d}S$$
公式：$$\cos(n, r) = \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{r}$$
提示：注意 $\mathbf{n}$ 是单位外法向量，$\mathbf{r}$ 是位置向量。
步骤 2/5
目标：应用高斯散度定理
令向量场 $\mathbf{F} = \frac{f(r)}{r} \mathbf{r}$，则曲面积分转化为三重积分：
$$\iint_{S} \frac{f(r)}{r} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}) \, \mathrm{d}S = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, \mathrm{d}V$$
公式：$$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, \mathrm{d}V$$
提示：高斯定理要求区域 $\Omega$ 有界且边界光滑，题目已满足。
步骤 3/5
目标：计算散度 $\nabla \cdot \mathbf{F}$
设 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，$\mathbf{F} = \frac{f(r)}{r}(x, y, z)$。计算偏导：
$$\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{f(r)}{r} x \right) = \frac{f(r)}{r} + x \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{f(r)}{r} \right)$$
其中
$$\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{f(r)}{r} \right) = \frac{x}{r^2}\left( f'(r) - \frac{f(r)}{r} \right)$$
所以
$$\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{f(r)}{r} x \right) = \frac{f(r)}{r} + \frac{x^2}{r^2}\left( f'(r) - \frac{f(r)}{r} \right)$$
同理对 $y$ 和 $z$ 求和，利用 $x^2+y^2+z^2 = r^2$，得：
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = 3\frac{f(r)}{r} + \left( f'(r) - \frac{f(r)}{r} \right) = f'(r) + \frac{2f(r)}{r}$$
公式：$$\nabla \cdot \left( \frac{f(r)}{r} \mathbf{r} \right) = f'(r) + \frac{2f(r)}{r}$$
提示：注意链式法则和 $\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$。
步骤 4/5
目标：利用微分方程简化散度
题目条件：$t f'(t) + 2 f(t) - t = 0$，即 $f'(t) + \frac{2}{t} f(t) = 1$。令 $t = r$，得：
$$f'(r) + \frac{2f(r)}{r} = 1$$
因此 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1$。
公式：$$f'(r) + \frac{2f(r)}{r} = 1$$
提示：微分方程直接代入散度表达式。
步骤 5/5
目标：计算三重积分得结果
由高斯定理：
$$\iint_{S} f(r) \cos(n, r) \, \mathrm{d}S = \iiint_{\Omega} 1 \, \mathrm{d}V = V$$
其中 $V$ 是区域 $\Omega$ 的体积。
公式：$$\iiint_{\Omega} 1 \, \mathrm{d}V = V$$
提示：注意 $\Omega$ 不含原点，但散度在 $\Omega$ 内处处为 1，高斯定理适用。
步骤 6/7
目标：利用微分方程简化散度
由微分方程 $r f'(r) + 2 f(r) = r$，代入得 $\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{r}{r} = 1$。因此散度恒等于1。
公式：$r f'(r) + 2 f(r) = r$
提示：注意微分方程中的变量是 $r$，与 $t$ 相同。
步骤 7/7
目标：计算三重积分得结果
原积分 $= \iiint_\Omega 1 \, dV = V$，即区域 $\Omega$ 的体积。
公式：$\iiint_\Omega 1 \, dV = V$
提示：体积是常数，与 $f$ 中的常数 $C$ 无关。
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