北京科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
三．（15 分）证明不等式：
（1）$\displaystyle \sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}>\ln t(t>1)$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k^{2}+k}}>\ln (1+n)\left(n \in \mathbb{N}^{+}\right)$．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造函数并求导，证明第一个不等式
对于 $t>1$，令 $f(t)=\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}-\ln t$。求导得 $f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}+\frac{1}{2t^{3/2}}-\frac{1}{t}$。通分后分子为 $t+1-2\sqrt{t}=(\sqrt{t}-1)^2$，分母为 $2t^{3/2}$，故 $f'(t)=\frac{(\sqrt{t}-1)^2}{2t^{3/2}}\ge 0$。
公式：$f'(t)=\frac{(\sqrt{t}-1)^2}{2t^{3/2}}$
提示：注意求导时各项系数的正确性，通分后分子是完全平方形式。
步骤 2/4
目标：利用单调性得出第一个不等式
由 $f'(t)\ge0$ 知 $f(t)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增。又 $f(1)=1-1-0=0$，故当 $t>1$ 时 $f(t)>0$，即 $\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}>\ln t$。
公式：$f(1)=0$，$f(t)>0$ 当 $t>1$
提示：不要忘记验证端点值 $f(1)=0$。
步骤 3/4
目标：将第一个不等式应用于第二个不等式的通项
在第一个不等式中令 $t=\frac{k+1}{k}>1$（$k\in\mathbb{N}^+$），得 $\sqrt{\frac{k+1}{k}}-\frac{1}{\sqrt{\frac{k+1}{k}}}>\ln\frac{k+1}{k}$。左边化简：$\sqrt{\frac{k+1}{k}}-\sqrt{\frac{k}{k+1}}=\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}}-\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}=\frac{(k+1)-k}{\sqrt{k(k+1)}}=\frac{1}{\sqrt{k^2+k}}$。
公式：$\frac{1}{\sqrt{k^2+k}}>\ln\frac{k+1}{k}$
提示：注意 $\sqrt{k^2+k}=\sqrt{k(k+1)}$，化简时分子有理化要仔细。
步骤 4/4
目标：对不等式求和得到第二个不等式
对 $k=1$ 到 $n$ 求和：$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k^2+k}}>\sum_{k=1}^{n}\ln\frac{k+1}{k}=\ln\frac{2}{1}+\ln\frac{3}{2}+\cdots+\ln\frac{n+1}{n}=\ln(n+1)$。
公式：$\sum_{k=1}^{n}\ln\frac{k+1}{k}=\ln(n+1)$
提示：求和时注意对数相消，最终结果为 $\ln(n+1)$。
步骤 5/6
目标：将第一部分不等式应用于第二问的项
在不等式 $\sqrt{t} - \frac{1}{\sqrt{t}} > \ln t$ 中，令 $t = \frac{k+1}{k} > 1$（$k \in \mathbb{N}^+$），则左边化简为：$\sqrt{\frac{k+1}{k}} - \sqrt{\frac{k}{k+1}} = \frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}} - \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}} = \frac{(k+1)-k}{\sqrt{k(k+1)}} = \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}$。右边为 $\ln\frac{k+1}{k}$。于是得到 $\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} > \ln\frac{k+1}{k}$。
公式：$\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} > \ln\frac{k+1}{k}$
提示：注意 $\sqrt{k^2+k} = \sqrt{k(k+1)}$，且 $t = \frac{k+1}{k}$ 满足 $t>1$ 的条件。
步骤 6/6
目标：对不等式求和并利用裂项相消
对 $k=1$ 到 $n$ 求和：$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k^2+k}} > \sum_{k=1}^n \ln\frac{k+1}{k}$。右边为 telescoping sum：$\sum_{k=1}^n \ln\frac{k+1}{k} = \ln\frac{2}{1} + \ln\frac{3}{2} + \cdots + \ln\frac{n+1}{n} = \ln(n+1)$。因此 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k^2+k}} > \ln(n+1)$。
公式：$\sum_{k=1}^n \ln\frac{k+1}{k} = \ln(n+1)$
提示：裂项相消时注意对数性质：$\ln a + \ln b = \ln(ab)$，中间项全部抵消，只剩 $\ln(n+1)$。
步骤 7/8
目标：裂项相消求和
右边为：
$$\sum_{k=1}^{n} \ln\left(1+\frac{1}{k}\right) = \sum_{k=1}^{n} [\ln(k+1) - \ln k] = \ln(n+1) - \ln 1 = \ln(n+1)$$
公式：$\sum_{k=1}^{n} \ln\left(1+\frac{1}{k}\right) = \ln(n+1)$
提示：注意 $\ln 1 = 0$，裂项后中间项全部抵消。
步骤 8/8
目标：得出最终结论
因此，对任意正整数 $n$，有
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k^{2}+k}} > \ln(1+n)$$
公式：$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k^{2}+k}} > \ln(1+n)$
提示：注意题目中 $\ln(1+n)$ 与 $\ln(n+1)$ 相同。
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