北京邮电大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
一．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} 2^{\frac{i}{n}} \frac{1}{n+\frac{1}{i}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察求和式的结构并尝试化简分母
求和项为 $2^{i/n} \cdot \frac{1}{n + 1/i}$。当 $n$ 很大时，分母中的 $1/i$ 相对于 $n$ 很小，考虑将其改写成与黎曼和相关的形式。将分母提取因子 $n$：
\[
\frac{1}{n + 1/i} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{ni}}
\]
因此原式可写为：
\[
\sum_{i=1}^n 2^{i/n} \frac{1}{n+1/i} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 2^{i/n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{ni}}
\]
公式：\frac{1}{n + 1/i} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{ni}}
提示：注意分母中 $1/i$ 相对于 $n$ 是小量，但不可直接忽略，需通过代数变形处理。
步骤 2/5
目标：展开修正项并分解求和式
利用展开式 $\frac{1}{1+\varepsilon} = 1 - \varepsilon + O(\varepsilon^2)$，其中 $\varepsilon = \frac{1}{ni}$，得：
\[
\frac{1}{1 + \frac{1}{ni}} = 1 - \frac{1}{ni} + O\left(\frac{1}{n^2 i^2}\right)
\]
代入原式得：
\[
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n 2^{i/n} - \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \frac{2^{i/n}}{i} + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n 2^{i/n} \cdot O\left(\frac{1}{n^2 i^2}\right)
\]
公式：\frac{1}{1+\varepsilon}=1-\varepsilon+O(\varepsilon^2)
提示：展开时注意余项的量级估计，确保后续极限处理正确。
步骤 3/5
目标：计算第一项黎曼和的极限
第一项 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n 2^{i/n}$ 是函数 $f(x)=2^x$ 在区间 $[0,1]$ 上的黎曼和，当 $n\to\infty$ 时收敛到定积分：
\[
\int_0^1 2^x \, dx = \left. \frac{2^x}{\ln 2} \right|_0^1 = \frac{2-1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}
\]
公式：\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n 2^{i/n} = \int_0^1 2^x dx = \frac{1}{\ln 2}
提示：黎曼和的分点 $i/n$ 对应区间 $[0,1]$ 的均匀分割，积分变量为 $x$。
步骤 4/5
目标：估计第二项及高阶项的极限
第二项 $\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \frac{2^{i/n}}{i}$ 中，由于 $2^{i/n} \le 2$，有：
\[
0 \le \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \frac{2^{i/n}}{i} \le \frac{2}{n^2}\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \sim \frac{2\ln n}{n^2} \to 0
\]
高阶项 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n 2^{i/n} \cdot O\left(\frac{1}{n^2 i^2}\right)$ 的绝对值不超过 $\frac{C}{n^3}\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2}$，而 $\sum_{i=1}^\infty 1/i^2$ 收敛，故该项趋于 $0$。
公式：\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \sim \ln n,\quad \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2} \text{ 收敛}
提示：注意 $\sum 1/i$ 发散但乘以 $1/n^2$ 后趋于零，高阶项需利用 $\sum 1/i^2$ 的收敛性。
步骤 5/5
目标：综合得出极限值
由以上分析，原极限等于第一项黎曼和的极限，即：
\[
\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n 2^{i/n} \frac{1}{n+1/i} = \frac{1}{\ln 2}
\]
也可用夹逼定理验证：由于 $\frac{1}{n+1} \le \frac{1}{n+1/i} \le \frac{1}{n}$，有
\[
\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^n 2^{i/n} \le \text{原式} \le \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n 2^{i/n}
\]
两边极限均为 $1/\ln 2$，由夹逼定理得证。
公式：\boxed{\dfrac{1}{\ln 2}}
提示：夹逼定理是验证极限的常用方法，注意不等式放缩的合理性。
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