📝 北京邮电大学 2026年数学分析真题

一．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} 2^{\frac{i}{n}} \frac{1}{n+\frac{1}{i}}$ ．

七．求 $\displaystyle I=\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+2\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x, a>0$ ．

三．求函数 $\displaystyle f(x, y)=\left(y+\frac{x}{3}\right) e^{x+y}$ 的极值．

九．若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上满足利普希茨条件，即存在某一个常数 $\displaystyle L>0$ ，使对于任意的 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in[1,+\infty)$ ，有 $\displaystyle \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leq L\left|x_{1}-x_{2}\right|$ ，证明：$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．

二．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} e^{\frac{t^{2}}{2}} \cos t \mathrm{~d} t-x}{\left(e^{x}-1\right)^{2}(1-\cos x) \arctan x}$ ．

五．已知平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 2 y\right\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}(x+y)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

八．设 $\displaystyle a_{n}>0, n=1,2,3, \cdots$ ，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=l, l$ 为常数，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=l$ ．

六．计算第二型曲线积分

$$
I=\int_{L} x y \mathrm{~d} x+(x-y) \mathrm{d} y+x^{2} \mathrm{~d} z .
$$

其中 $L$ 为螺旋线：$\displaystyle x=a \cos t, y=a \sin t, z=b t$ ，从 $\displaystyle t=0$ 到 $\displaystyle t=\pi, a, b$ 为常数．

十．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=f(1)$ ，证明：

$$
f(x) \equiv f(1), x \in(0,+\infty)
$$

十一。设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 上有 $\displaystyle n+1$ 阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=0, f^{(n+1)}(0) \neq 0$ ，由微分中值定理，对 $\displaystyle |x|<\delta$ ，存在 $\displaystyle \theta \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f(x)-f(0)=f^{\prime}(\theta x) x$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}$ ．

十三．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的一个邻域内连续，证明：函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件是 $\displaystyle \varphi(0,0)=0$ ．

十二．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶连续导数且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ，证明：

$$
f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leq \frac{f(a)+f(b)}{2} .
$$

十五．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，证明：
（1）存在 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[0,1]$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty$ ．
（2）存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，使得对任意的 $\displaystyle \delta>0, f(x)$ 在 $\displaystyle (c-\delta, c+\delta) \cap[a, b]$ 无界．

十四．设函数 $\displaystyle f_{n}(x)=x n^{k} e^{-n x}$ ，其中 $k$ 为常数，讨论 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的一致收玫性．

四．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处存在二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right|$ 收玫．