北京邮电大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
十二．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶连续导数且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ，证明：
$$
f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leq \frac{f(a)+f(b)}{2} .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明右边不等式：积分平均值 ≤ 端点函数值的算术平均
由于 $f''(x) > 0$，$f$ 是严格凸函数。凸函数满足：对任意 $t \in [0,1]$，有 $f((1-t)a + tb) \leq (1-t)f(a) + tf(b)$。令 $x = (1-t)a + tb$，则 $t = \frac{x-a}{b-a}$，代入得 $f(x) \leq \frac{b-x}{b-a}f(a) + \frac{x-a}{b-a}f(b)$。两边在 $[a,b]$ 上积分：$\int_a^b f(x)\,dx \leq \frac{f(a)}{b-a}\int_a^b (b-x)\,dx + \frac{f(b)}{b-a}\int_a^b (x-a)\,dx$。
公式：f(x) \leq \frac{b-x}{b-a}f(a) + \frac{x-a}{b-a}f(b)
提示：注意凸函数不等式方向：弦在函数图像上方，因此函数值 ≤ 线性插值。
步骤 2/5
目标：计算积分并化简右边不等式
计算两个定积分：$\int_a^b (b-x)\,dx = \left[ bx - \frac{x^2}{2} \right]_a^b = \frac{(b-a)^2}{2}$，$\int_a^b (x-a)\,dx = \left[ \frac{(x-a)^2}{2} \right]_a^b = \frac{(b-a)^2}{2}$。代入得 $\int_a^b f(x)\,dx \leq \frac{f(a)+f(b)}{b-a} \cdot \frac{(b-a)^2}{2} = (b-a)\cdot\frac{f(a)+f(b)}{2}$。两边除以 $b-a$ 即得 $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}$。
公式：\int_a^b (b-x)\,dx = \frac{(b-a)^2}{2}, \quad \int_a^b (x-a)\,dx = \frac{(b-a)^2}{2}
提示：积分计算要仔细，避免符号错误；最后一步除以 $b-a$ 时注意 $b-a>0$。
步骤 3/5
目标：证明左边不等式：中点函数值 ≤ 积分平均值
令 $h = \frac{b-a}{2}$，作变量代换 $u = x - \frac{a+b}{2}$，则 $x = \frac{a+b}{2} + u$，积分区间变为 $[-h, h]$，且 $dx = du$。于是 $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx = \frac{1}{2h}\int_{-h}^h f\left(\frac{a+b}{2}+u\right)du$。由凸函数性质，对任意 $u$ 有 $f\left(\frac{a+b}{2}+u\right) + f\left(\frac{a+b}{2}-u\right) \geq 2f\left(\frac{a+b}{2}\right)$。
公式：\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx = \frac{1}{2h}\int_{-h}^h f\left(\frac{a+b}{2}+u\right)du
提示：变量代换后注意积分限的变化，对称区间是证明的关键。
步骤 4/5
目标：利用对称性和凸性完成左边不等式证明
将积分拆分为对称部分：$\int_{-h}^h f\left(\frac{a+b}{2}+u\right)du = \int_0^h \left[ f\left(\frac{a+b}{2}+u\right) + f\left(\frac{a+b}{2}-u\right) \right] du$。由凸性不等式，被积函数 $\geq 2f\left(\frac{a+b}{2}\right)$，因此 $\int_{-h}^h f\left(\frac{a+b}{2}+u\right)du \geq \int_0^h 2f\left(\frac{a+b}{2}\right)du = 2h f\left(\frac{a+b}{2}\right)$。两边除以 $2h$ 得 $\frac{1}{2h}\int_{-h}^h f\left(\frac{a+b}{2}+u\right)du \geq f\left(\frac{a+b}{2}\right)$，即 $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \geq f\left(\frac{a+b}{2}\right)$。
公式：f\left(\frac{a+b}{2}+u\right) + f\left(\frac{a+b}{2}-u\right) \geq 2f\left(\frac{a+b}{2}\right)
提示：凸函数的对称平均值不小于中点值，这是由凸性定义或Jensen不等式推出的，注意不等号方向。
步骤 5/5
目标：综合结论
由第一步和第二步的证明，我们得到 $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}$，不等式得证。
公式：f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}
提示：注意两个不等式分别依赖于凸函数的不同性质，左边用对称凸性，右边用弦在函数上方。
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