北京邮电大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
十五．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，证明：
（1）存在 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[0,1]$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty$ ．
（2）存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，使得对任意的 $\displaystyle \delta>0, f(x)$ 在 $\displaystyle (c-\delta, c+\delta) \cap[a, b]$ 无界．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明存在点列使得函数值趋于无穷
因为函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上无界，根据无界的定义：对于任意正数 $M$，总存在某个 $x \in [a, b]$ 使得 $|f(x)| > M$。
对每个自然数 $n$，取 $M = n$，则存在 $x_n \in [a, b]$ 使得 $|f(x_n)| > n$。
当 $n \to \infty$ 时，$|f(x_n)| \to \infty$，因此 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \infty$（这里理解为函数值的绝对值趋于无穷大）。
公式：\forall n \in \mathbb{N}, \exists x_n \in [a,b], \; |f(x_n)| > n \; \Rightarrow \; \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \infty
提示：注意无界定义中要求的是 $|f(x)| > M$，而不是 $f(x) > M$，因此极限 $\infty$ 应理解为绝对值发散到正无穷。
步骤 2/4
目标：证明存在内点使得任意邻域内函数无界——反证法假设
采用反证法。假设结论不成立，即对每个 $c \in (a, b)$，都存在某个 $\delta_c > 0$，使得 $f(x)$ 在 $(c - \delta_c, c + \delta_c) \cap [a, b]$ 上有界。
公式：\forall c \in (a,b), \exists \delta_c > 0, \; \text{s.t. } f \text{ 在 } (c-\delta_c, c+\delta_c) \cap [a,b] \text{ 上有界}
提示：注意这里假设是对每个内点都存在一个邻域使得函数有界，端点暂不考虑。
步骤 3/4
目标：应用有限覆盖定理导出矛盾
所有这样的开区间 $(c - \delta_c, c + \delta_c)$（其中 $c \in (a,b)$）以及端点附近的半开区间（例如 $[a, a+\delta_a)$ 和 $(b-\delta_b, b]$）构成了闭区间 $[a, b]$ 的一个开覆盖。
由有限覆盖定理，存在有限个这样的开区间覆盖 $[a, b]$。在每个小区间上 $f(x)$ 有界，取这些界的最大值，则 $f(x)$ 在整个 $[a, b]$ 上有界，这与已知条件“$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上无界”矛盾。
因此假设错误，必存在某个 $c \in (a, b)$，使得对任意 $\delta > 0$，$f(x)$ 在 $(c-\delta, c+\delta) \cap [a, b]$ 上无界。
公式：\text{有限覆盖定理：} [a,b] \subseteq \bigcup_{i=1}^n I_i \; \Rightarrow \; f \text{ 在 } [a,b] \text{ 上有界（矛盾）}
提示：有限覆盖定理是实数完备性的重要体现，注意端点处需要特殊处理，但本质相同。
步骤 4/4
目标：总结两个结论
（1）由无界定义直接构造点列 $\{x_n\}$，使得 $|f(x_n)| > n$，从而 $\lim_{n\to\infty} f(x_n) = \infty$。
（2）通过反证法结合有限覆盖定理，证明存在内点 $c$，使得 $f$ 在该点的任意邻域内无界。
公式：\text{结论：} \exists c \in (a,b), \; \forall \delta > 0, \; f \text{ 在 } (c-\delta, c+\delta) \cap [a,b] \text{ 上无界}
提示：第二问的结论本质上说明无界函数在闭区间上至少有一个聚点，使得函数在该点附近无界。
步骤 5/5
目标：得出存在内点满足无界性
反证法假设导致矛盾，因此原假设不成立。故存在某个 $c \in (a,b)$，使得对任意 $\delta > 0$，$f(x)$ 在 $(c-\delta, c+\delta) \cap [a,b]$ 上无界。
公式：$\exists c \in (a,b), \forall \delta > 0, \sup_{x \in (c-\delta, c+\delta) \cap [a,b]} |f(x)| = +\infty$
提示：这个 $c$ 实际上是函数无界点的聚点，且必然在区间内部。
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