北京邮电大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
十四．设函数 $\displaystyle f_{n}(x)=x n^{k} e^{-n x}$ ，其中 $k$ 为常数，讨论 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的一致收玫性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求逐点极限函数
对于固定的 $x > 0$，由于指数项 $e^{-nx}$ 衰减速度远快于幂函数增长，有 $\lim_{n\to\infty} f_n(x) = \lim_{n\to\infty} x n^k e^{-nx} = 0$。对于 $x = 0$，直接代入得 $f_n(0) = 0$。因此逐点极限函数为 $f(x) = 0$，$\forall x \ge 0$。
公式：$$\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0, \quad x \ge 0$$
提示：注意 $x=0$ 时需单独验证，但结果一致。
步骤 2/6
目标：建立一致收敛的判定表达式
一致收敛到 $0$ 当且仅当 $\sup_{x \ge 0} |f_n(x) - 0| = \sup_{x \ge 0} x n^k e^{-nx} \to 0$（$n \to \infty$）。因此需要求函数 $g_n(x) = x n^k e^{-nx}$ 在 $[0, +\infty)$ 上的最大值。
公式：$$\sup_{x \ge 0} |f_n(x)| = \sup_{x \ge 0} x n^k e^{-nx}$$
提示：上确界是判断一致收敛的关键，不能只考虑固定点。
步骤 3/6
目标：求最大值点
对 $g_n(x)$ 关于 $x$ 求导：$g_n'(x) = n^k e^{-nx} (1 - n x)$。令导数为零得 $1 - n x = 0$，即 $x = \frac{1}{n}$。由于导数在 $x < \frac{1}{n}$ 时为正，$x > \frac{1}{n}$ 时为负，故该点为最大值点。
公式：$$g_n'(x) = n^k e^{-nx} (1 - n x), \quad x = \frac{1}{n} \text{ 为最大值点}$$
提示：注意求导时 $n^k$ 是常数，不要遗漏指数项的链式法则。
步骤 4/6
目标：计算最大值
将 $x = \frac{1}{n}$ 代入 $g_n(x)$：$g_n\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} \cdot n^k \cdot e^{-1} = n^{k-1} e^{-1}$。因此 $\sup_{x \ge 0} |f_n(x)| = \frac{n^{k-1}}{e}$。
公式：$$\sup_{x \ge 0} |f_n(x)| = \frac{n^{k-1}}{e}$$
提示：计算时注意指数运算：$n^k \cdot \frac{1}{n} = n^{k-1}$。
步骤 5/6
目标：讨论一致收敛的条件
一致收敛到 $0$ 当且仅当 $\lim_{n\to\infty} \frac{n^{k-1}}{e} = 0$。这要求 $k-1 < 0$，即 $k < 1$。若 $k = 1$，上确界为常数 $1/e \neq 0$，不一致收敛；若 $k > 1$，上确界趋于无穷，更不一致收敛。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \frac{n^{k-1}}{e} = 0 \iff k < 1$$
提示：注意 $k=1$ 时极限非零，是临界情况，容易误判为收敛。
步骤 6/6
目标：给出最终结论
综上所述，函数序列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[0, +\infty)$ 上一致收敛于 $0$ 当且仅当 $k < 1$；当 $k \ge 1$ 时，不一致收敛。
公式：$$\text{一致收敛} \iff k < 1$$
提示：结论需明确区分 $k<1$ 和 $k\ge 1$ 两种情况。
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