北京邮电大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
二．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} e^{\frac{t^{2}}{2}} \cos t \mathrm{~d} t-x}{\left(e^{x}-1\right)^{2}(1-\cos x) \arctan x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析分母的无穷小阶数
当 $x \to 0$ 时，利用等价无穷小：$e^x - 1 \sim x$，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，$\arctan x \sim x$。因此分母的等价无穷小为：
$$(e^x - 1)^2 (1 - \cos x) \arctan x \sim x^2 \cdot \frac{x^2}{2} \cdot x = \frac{x^5}{2}.$$
公式：(e^x-1)^2(1-\cos x)\arctan x \sim \frac{x^5}{2}
提示：注意每个因子的等价无穷小替换要同时进行，且分母是乘积形式，阶数相加。
步骤 2/4
目标：分析分子的结构并展开被积函数
分子为 $F(x) = \int_0^x e^{t^2/2} \cos t \, dt - x$。先将被积函数 $f(t)=e^{t^2/2}\cos t$ 在 $t=0$ 处泰勒展开到 $t^4$ 项。已知：
$$e^{t^2/2} = 1 + \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{8} + O(t^6), \quad \cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} + O(t^6).$$
相乘后，常数项为 $1$，$t^2$ 项系数为 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$，$t^4$ 项系数为 $\frac{1}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{24} = -\frac{1}{12}$。所以 $f(t) = 1 - \frac{1}{12}t^4 + O(t^6)$。
公式：e^{t^2/2}\cos t = 1 - \frac{1}{12}t^4 + O(t^6)
提示：展开时注意 $t^2$ 项恰好抵消，需要展开到 $t^4$ 项才能得到分子的主要部分。
步骤 3/4
目标：积分并化简分子
对展开式积分：
$$\int_0^x f(t) \, dt = \int_0^x \left(1 - \frac{t^4}{12} + O(t^6)\right) dt = x - \frac{x^5}{60} + O(x^7).$$
因此分子为：
$$\int_0^x e^{t^2/2}\cos t \, dt - x = -\frac{x^5}{60} + O(x^7).$$
公式：\int_0^x f(t)dt - x = -\frac{x^5}{60} + O(x^7)
提示：积分时注意 $\int_0^x t^4 dt = x^5/5$，再乘以系数 $-1/12$ 得到 $-x^5/60$。
步骤 4/4
目标：计算极限
分子等价于 $-\frac{x^5}{60}$，分母等价于 $\frac{x^5}{2}$，因此：
$$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^5}{60} + O(x^7)}{\frac{x^5}{2} + O(x^5)} = \frac{-\frac{1}{60}}{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{30}.$$
公式：\lim_{x\to 0}\frac{-x^5/60}{x^5/2} = -\frac{1}{30}
提示：分子和分母的最低阶项都是 $x^5$，可以直接相除得到极限值，高阶无穷小不影响结果。
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