北京邮电大学 2026年数学分析第0题

对函数 $f(x, y) = \left(y + \frac{x}{3}\right) e^{x+y}$ 分别求关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。使用乘积法则： 对 $x$ 求偏导： $$f_x = \frac{\partial}{\partial x}\left[\left(y + \frac{x}{3}\right) e^{x+y}\right] = \frac{1}{3} e^{x+y} + \left(y + \frac{x}{3}\right) e^{x+y} = e^{x+y}\left(\frac{1}{3} + y + \frac{x}{3}\right) = e^{x+y}\left(y + \frac{x+1}{3}\right)$$ 对 $y$ 求偏导： $$f_y = \frac{\partial}{\partial y}\left[\left(y + \frac{x}{3}\right) e^{x+y}\right] = 1 \cdot e^{x+y} + \left(y + \frac{x}{3}\right) e^{x+y} = e^{x+y}\left(1 + y + \frac{x}{3}\right)$$

由于 $e^{x+y} > 0$ 恒成立，所以令括号内为零即可得到驻点条件： $$\begin{cases} y + \frac{x+1}{3} = 0 \\ 1 + y + \frac{x}{3} = 0 \end{cases}$$

将第一个方程乘以 3 得：$3y + x + 1 = 0$，即 $x = -3y - 1$。 代入第二个方程：$1 + y + \frac{-3y - 1}{3} = 0$，化简得：$1 + y - y - \frac{1}{3} = 0$，即 $\frac{2}{3} = 0$。 这是一个矛盾方程，说明方程组无解。

由于方程组无实数解，函数 $f(x, y)$ 没有驻点。对于可微的二元函数，极值点必为驻点，因此该函数没有极值点。 从函数形式看，$f(x, y) = \left(y + \frac{x}{3}\right) e^{x+y}$ 是指数函数与线性函数的乘积，在平面上不会出现内部的局部极值。

由于没有驻点，函数 $f(x,y)$ 不存在局部极值。进一步观察：当固定 $y$ 而令 $x \to +\infty$ 时，指数项 $e^{x+y}$ 主导，函数值趋于 $+\infty$；当 $x \to -\infty$ 时，函数值趋于 $0$（可能为负，取决于括号符号）。沿不同方向函数值可无限增大或减小，因此无极值。

函数 $f(x,y) = \left(y + \frac{x}{3}\right) e^{x+y}$ 无极值。