北京邮电大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
四．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处存在二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right|$ 收玫．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由极限条件推导函数在零点处的值和一阶导数值
已知 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$。由于分母趋于0，分子必须也趋于0，否则极限不存在或为无穷，因此 $f(0) = 0$。进一步，由导数定义 $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$，故 $f'(0) = 0$。
公式：$f(0)=0,\ f'(0)=0$
提示：注意极限存在且为0是有限值，分子必须趋于0，这是洛必达法则反向推理的基础。
步骤 2/6
目标：利用二阶导数存在性写出带Peano余项的泰勒展开
因为 $f(x)$ 在 $x=0$ 处存在二阶导数，所以可以写出 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的二阶泰勒展开式：$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$。代入第一步得到的 $f(0)=0$ 和 $f'(0)=0$，得到 $f(x) = \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$，其中 $o(x^2)$ 表示当 $x \to 0$ 时比 $x^2$ 高阶的无穷小。
公式：$f(x) = \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$
提示：Peano余项 $o(x^2)$ 意味着存在一个函数 $\alpha(x)$ 满足 $\lim_{x\to 0}\alpha(x)=0$，使得 $f(x)=\frac{f''(0)}{2}x^2+\alpha(x)x^2$。
步骤 3/6
目标：由泰勒展开得到局部有界估计
由 $f(x) = \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$ 可知，存在 $\delta > 0$ 和常数 $M > 0$，使得当 $|x| < \delta$ 时，有 $|f(x)| \leq M x^2$。这是因为 $o(x^2)$ 项可以被 $x^2$ 控制，例如取 $M = \left|\frac{f''(0)}{2}\right| + 1$。
公式：$|f(x)| \leq M x^2,\ \forall |x| < \delta$
提示：这里 $M$ 的具体值不重要，关键是存在这样的常数，使得 $f(x)$ 在0附近被 $x^2$ 的常数倍控制。
步骤 4/6
目标：将估计应用于数列 $\{1/n\}$
当 $n$ 充分大时，有 $\frac{1}{n} < \delta$，因此对于所有 $n > N_0 = \lfloor 1/\delta \rfloor$，有 $\left| f\left(\frac{1}{n}\right) \right| \leq M \cdot \frac{1}{n^2}$。
公式：$\left| f\left(\frac{1}{n}\right) \right| \leq \frac{M}{n^2},\ n > N_0$
提示：注意 $N_0$ 是使得 $1/n < \delta$ 成立的最小整数，级数的收敛性只与尾部有关。
步骤 5/6
目标：利用比较判别法证明级数收敛
考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left| f\left(\frac{1}{n}\right) \right|$。从第 $N_0+1$ 项开始，其通项被 $M/n^2$ 控制。而 $p$-级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛（因为 $p=2>1$），由比较判别法可知，原级数从第 $N_0+1$ 项开始的尾部收敛，因此整个级数收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \text{ 收敛} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \left| f\left(\frac{1}{n}\right) \right| \text{ 收敛}$
提示：比较判别法要求被比较的级数通项非负且收敛，这里 $M/n^2$ 的级数乘以常数 $M$ 后仍收敛。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，由 $f(0)=0,\ f'(0)=0$ 及二阶导数存在，得到 $f(x)=O(x^2)$（当 $x\to 0$），从而 $|f(1/n)| \leq C/n^2$，由比较判别法知原级数绝对收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \left| f\left(\frac{1}{n}\right) \right| \text{ 收敛}$
提示：本题的关键是利用泰勒展开得到 $f(x)$ 在0附近的二次阶估计，然后与收敛的 $p$-级数比较。
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