北京邮电大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
七．求 $\displaystyle I=\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+2\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x, a>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将曲面方程化为标准形式，确定球心与半径
已知曲面方程为 $x^2 + y^2 + z^2 = 2ax$，其中 $a>0$。通过配方：$x^2 - 2ax + y^2 + z^2 = 0$，即 $(x-a)^2 + y^2 + z^2 = a^2$。因此，曲面 $S$ 是球心在 $(a,0,0)$、半径为 $a$ 的球面。
公式：$(x-a)^2 + y^2 + z^2 = a^2$
提示：注意配方时不要遗漏常数项，确保等式右边为 $a^2$。
步骤 2/6
目标：选择合适的参数化方法，写出参数方程
由于球心在 $(a,0,0)$，采用以球心为原点的球坐标参数化：
$x = a + a\sin\varphi\cos\theta$，
$y = a\sin\varphi\sin\theta$，
$z = a\cos\varphi$，
其中 $\varphi \in [0,\pi]$，$\theta \in [0,2\pi)$。面积元为 $\mathrm{d}S = a^2 \sin\varphi \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta$。
公式：$\mathrm{d}S = a^2 \sin\varphi \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta$
提示：参数化时注意球心偏移，$x$ 坐标要加上 $a$。
步骤 3/6
目标：将参数方程代入被积函数，化简表达式
由参数化得 $x = a(1+\sin\varphi\cos\theta)$，$y = a\sin\varphi\sin\theta$。计算 $x^2+y^2$：
$x^2+y^2 = a^2(1+\sin\varphi\cos\theta)^2 + a^2\sin^2\varphi\sin^2\theta$
$= a^2[1 + 2\sin\varphi\cos\theta + \sin^2\varphi(\cos^2\theta+\sin^2\theta)]$
$= a^2(1 + \sin^2\varphi + 2\sin\varphi\cos\theta)$。
因此被积函数为 $x^2+y^2+2 = a^2(1+\sin^2\varphi+2\sin\varphi\cos\theta) + 2$。
公式：$x^2+y^2 = a^2(1+\sin^2\varphi+2\sin\varphi\cos\theta)$
提示：利用三角恒等式 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ 简化计算。
步骤 4/6
目标：将积分化为累次积分，并拆分成多个部分
积分 $I = \iint_S (x^2+y^2+2)\,\mathrm{d}S$
$= \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\varphi=0}^{\pi} [a^2(1+\sin^2\varphi+2\sin\varphi\cos\theta) + 2] \cdot a^2\sin\varphi \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta$
$= a^4 \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin\varphi \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta$
$+ a^4 \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin^3\varphi \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta$
$+ 2a^4 \int_0^{2\pi} \cos\theta \, \mathrm{d}\theta \int_0^\pi \sin^2\varphi \, \mathrm{d}\varphi$
$+ 2a^2 \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin\varphi \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta$。
公式：$I = a^4 I_1 + a^4 I_2 + 2a^4 I_3 + 2a^2 I_4$
提示：注意将常数因子 $a^2$ 和 $2$ 分别提出，避免遗漏项。
步骤 5/6
目标：分别计算四个积分部分
计算各部分：
1. $I_1 = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^\pi \sin\varphi \, \mathrm{d}\varphi = 2\pi \cdot [ -\cos\varphi ]_0^\pi = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$。
2. $I_2 = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^\pi \sin^3\varphi \, \mathrm{d}\varphi = 2\pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{8\pi}{3}$（因为 $\int_0^\pi \sin^3\varphi \, \mathrm{d}\varphi = \frac{4}{3}$）。
3. $I_3 = \int_0^{2\pi} \cos\theta \, \mathrm{d}\theta \int_0^\pi \sin^2\varphi \, \mathrm{d}\varphi = 0 \cdot \frac{\pi}{2} = 0$（$\int_0^{2\pi} \cos\theta \, \mathrm{d}\theta = 0$）。
4. $I_4 = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^\pi \sin\varphi \, \mathrm{d}\varphi = 4\pi$（同 $I_1$）。
公式：$\int_0^\pi \sin^3\varphi \, \mathrm{d}\varphi = \frac{4}{3}$
提示：计算 $\sin^3\varphi$ 的积分可用公式或分部积分；注意 $\int_0^{2\pi} \cos\theta \, \mathrm{d}\theta = 0$ 是常见对称性结论。
步骤 6/6
目标：将各部分结果代入并求和，得到最终答案
将各部分结果代入：
$I = a^4 \cdot 4\pi + a^4 \cdot \frac{8\pi}{3} + 2a^4 \cdot 0 + 2a^2 \cdot 4\pi$
$= 4\pi a^4 + \frac{8\pi a^4}{3} + 8\pi a^2$
$= \left(4 + \frac{8}{3}\right)\pi a^4 + 8\pi a^2$
$= \frac{20\pi a^4}{3} + 8\pi a^2$
$= \frac{4\pi a^2}{3}(5a^2 + 6)$。
公式：$I = \frac{4\pi a^2}{3}(5a^2 + 6)$
提示：最终结果可提取公因式 $\frac{4\pi a^2}{3}$ 以简化形式。
步骤 7/7
目标：计算第三项积分并合并结果
第三项：$2a^4 \int_0^{2\pi} \cos\phi \, d\phi \int_0^\pi \sin^2\theta \, d\theta$。由于 $\int_0^{2\pi} \cos\phi \, d\phi = 0$，此项为 $0$。
因此 $I = 4\pi a^2(a^2+2) + \frac{8\pi a^4}{3} = 4\pi a^4 + 8\pi a^2 + \frac{8\pi a^4}{3} = \frac{20\pi a^4}{3} + 8\pi a^2 = \frac{4\pi a^2}{3}(5a^2 + 6)$。
公式：$I = \frac{4\pi a^2}{3}(5a^2 + 6)$
提示：合并同类项时注意通分，$4 = \frac{12}{3}$，$\frac{12}{3} + \frac{8}{3} = \frac{20}{3}$。
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