北京邮电大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
五．已知平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 2 y\right\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}(x+y)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简区域方程，确定积分区域形状
将不等式 $x^2 + y^2 \leq 2y$ 改写为 $x^2 + y^2 - 2y \leq 0$，然后配方：$x^2 + (y^2 - 2y + 1) \leq 1$，即 $x^2 + (y-1)^2 \leq 1$。因此区域 $D$ 是圆心在 $(0,1)$、半径为 $1$ 的圆盘。
公式：$x^2 + (y-1)^2 \leq 1$
提示：配方时注意 $y^2 - 2y$ 加上 $1$ 构成完全平方，同时右边也要加 $1$。
步骤 2/5
目标：选择坐标系并进行变量代换
由于积分区域是圆域，采用极坐标，但圆心不在原点。令 $x = r\cos\theta$，$y = 1 + r\sin\theta$，其中 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。雅可比行列式为 $r$，因此 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。
公式：$x = r\cos\theta,\; y = 1 + r\sin\theta,\; \mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$
提示：注意平移极坐标的雅可比仍然是 $r$，因为平移不改变面积元。
步骤 3/5
目标：将被积函数用极坐标表示并展开
被积函数 $(x+y)^2 = (r\cos\theta + 1 + r\sin\theta)^2 = [1 + r(\cos\theta + \sin\theta)]^2$。展开得 $1 + 2r(\cos\theta+\sin\theta) + r^2(\cos\theta+\sin\theta)^2$。利用恒等式 $(\cos\theta+\sin\theta)^2 = 1 + \sin 2\theta$，因此被积函数化为 $1 + 2r(\cos\theta+\sin\theta) + r^2(1+\sin 2\theta)$。
公式：$(x+y)^2 = 1 + 2r(\cos\theta+\sin\theta) + r^2(1+\sin 2\theta)$
提示：展开时注意 $[1 + r(\cos\theta+\sin\theta)]^2$ 不要漏掉交叉项。
步骤 4/5
目标：写出二重积分并先对 $r$ 积分
二重积分化为 $\iint_D (x+y)^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \left[1 + 2r(\cos\theta+\sin\theta) + r^2(1+\sin 2\theta)\right] r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。将 $r$ 乘入括号得 $\int_0^{2\pi} \int_0^1 \left[r + 2r^2(\cos\theta+\sin\theta) + r^3(1+\sin 2\theta)\right] \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。先对 $r$ 积分：$\int_0^1 r\,\mathrm{d}r = \frac12$，$\int_0^1 2r^2\,\mathrm{d}r = \frac23$，$\int_0^1 r^3\,\mathrm{d}r = \frac14$。因此内层积分结果为 $\frac12 + \frac23(\cos\theta+\sin\theta) + \frac14(1+\sin 2\theta)$。
公式：$\int_0^1 r\,\mathrm{d}r = \frac12,\; \int_0^1 2r^2\,\mathrm{d}r = \frac23,\; \int_0^1 r^3\,\mathrm{d}r = \frac14$
提示：注意 $r$ 与括号内每一项相乘，不要遗漏 $r$ 的幂次变化。
步骤 5/5
目标：对 $\theta$ 积分得到最终结果
现在对 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 积分：$\int_0^{2\pi} \frac12 \mathrm{d}\theta = \pi$；$\int_0^{2\pi} \frac23(\cos\theta+\sin\theta) \mathrm{d}\theta = 0$（正余弦在一个周期内积分为零）；$\int_0^{2\pi} \frac14 \mathrm{d}\theta = \frac{\pi}{2}$；$\int_0^{2\pi} \frac14 \sin 2\theta \,\mathrm{d}\theta = 0$。总和为 $\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$。
公式：$\int_0^{2\pi} \cos\theta\,\mathrm{d}\theta = 0,\; \int_0^{2\pi} \sin\theta\,\mathrm{d}\theta = 0,\; \int_0^{2\pi} \sin 2\theta\,\mathrm{d}\theta = 0$
提示：正余弦函数在整周期上的积分为零，这是简化计算的关键。
步骤 6/6
目标：求和得到最终结果
将三项积分结果相加：$I = \pi + 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$。
公式：$\frac{3\pi}{2}$
提示：注意检查各项积分是否计算正确，特别是常数项和周期函数的积分。
步骤 7/8
目标：再对 $\theta$ 积分
分别计算三项的 $\theta$ 积分：
1. $\int_0^{2\pi} \frac12 \, d\theta = \pi$.
2. $\int_0^{2\pi} \frac23 (\cos\theta + \sin\theta) \, d\theta = \frac23 (0+0) = 0$.
3. $\int_0^{2\pi} \frac14 (\cos\theta + \sin\theta)^2 \, d\theta = \frac14 \int_0^{2\pi} (1 + \sin 2\theta) \, d\theta = \frac14 \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}$.
总和为 $\pi + 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$。
公式：$\int_0^{2\pi} \cos\theta \, d\theta = 0$, $\int_0^{2\pi} \sin\theta \, d\theta = 0$, $\int_0^{2\pi} \sin 2\theta \, d\theta = 0$
提示：注意 $\cos\theta + \sin\theta$ 的平方展开为 $1+\sin 2\theta$，积分时 $\sin 2\theta$ 在一个周期内积分为 $0$。
步骤 8/8
目标：得出最终结果
因此，二重积分的值为 $\frac{3\pi}{2}$。
提示：检查结果是否合理，例如正负号和数值大小。
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