北京邮电大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
十．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=f(1)$ ，证明：
$$
f(x) \equiv f(1), x \in(0,+\infty)
$$
十一。设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 上有 $\displaystyle n+1$ 阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=0, f^{(n+1)}(0) \neq 0$ ，由微分中值定理，对 $\displaystyle |x|<\delta$ ，存在 $\displaystyle \theta \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f(x)-f(0)=f^{\prime}(\theta x) x$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：第十题：利用函数方程反复迭代，将自变量转化为极限点附近的值。
由条件 $f(x)=f(x^2)$ 对任意 $x>0$ 成立，反复应用可得：对任意正整数 $n$，有 $f(x)=f(x^{2^n})$，同时也有 $f(x)=f(x^{1/2^n})$。
公式：f(x)=f(x^{2^n})=f(x^{1/2^n})
提示：注意函数方程可以双向使用，即平方和开方都保持函数值不变。
步骤 2/7
目标：第十题：对 $x>1$ 的情况进行证明。
当 $x>1$ 时，$x^{1/2^n} \to 1^+$（当 $n\to\infty$）。由已知极限 $\lim_{t\to 1^+} f(t)=f(1)$，结合函数方程 $f(x)=f(x^{1/2^n})$，取极限得 $f(x)=\lim_{n\to\infty} f(x^{1/2^n})=f(1)$。
公式：\lim_{n\to\infty} x^{1/2^n}=1^+,\quad f(x)=\lim_{n\to\infty} f(x^{1/2^n})=f(1)
提示：这里利用了极限的保号性和函数方程，注意极限存在的条件。
步骤 3/7
目标：第十题：对 $0
当 $0
公式：\lim_{n\to\infty} x^{2^n}=0^+,\quad f(x)=\lim_{n\to\infty} f(x^{2^n})=f(1)
提示：注意 $x=1$ 时结论显然成立，因此对所有 $x>0$ 都有 $f(x)=f(1)$。
步骤 4/7
目标：第十一题：写出 $f(x)$ 在 $0$ 处的泰勒展开式。
由条件 $f'(0)=f''(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=0$，$f^{(n+1)}(0)\neq 0$，将 $f(x)$ 在 $x=0$ 处展开到 $n+1$ 阶（拉格朗日余项）：$f(x)=f(0)+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}$，其中 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间。
公式：f(x)=f(0)+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}
提示：注意前 $n$ 阶导数均为零，因此展开式从 $n+1$ 阶项开始。
步骤 5/7
目标：第十一题：对中值定理中的 $f'(\theta x)$ 进行泰勒展开。
由微分中值定理，存在 $\theta\in(0,1)$ 使得 $f(x)-f(0)=f'(\theta x)x$。对 $f'(\theta x)$ 在 $0$ 处展开：由于 $f'(0)=0,\dots,f^{(n)}(0)=0$，$f^{(n+1)}(0)\neq 0$，故 $f'(\theta x)=\frac{f^{(n+1)}(\eta)}{n!}(\theta x)^n$，其中 $\eta$ 介于 $0$ 与 $\theta x$ 之间。
公式：f'(\theta x)=\frac{f^{(n+1)}(\eta)}{n!}(\theta x)^n
提示：注意 $f'$ 的 $n$ 阶导数在 $0$ 处为 $f^{(n+1)}(0)$，因此展开式从 $n$ 次项开始。
步骤 6/7
目标：第十一题：将两个展开式代入等式并化简。
代入 $f(x)-f(0)=f'(\theta x)x$ 得：$\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1} = \frac{f^{(n+1)}(\eta)}{n!}(\theta x)^n \cdot x = \frac{f^{(n+1)}(\eta)}{n!}\theta^n x^{n+1}$。当 $x\neq 0$ 时，两边约去 $x^{n+1}$，得 $\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} = \frac{f^{(n+1)}(\eta)}{n!}\theta^n$。
公式：\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} = \frac{f^{(n+1)}(\eta)}{n!}\theta^n
提示：约去 $x^{n+1}$ 时需注意 $x\neq 0$，最终考虑极限 $x\to 0$。
步骤 7/7
目标：第十一题：解出 $\theta^n$ 并取极限。
由上式解得 $\theta^n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{f^{(n+1)}(\eta)} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{f^{(n+1)}(\eta)} \cdot \frac{1}{n+1}$。当 $x\to 0$ 时，$\xi\to 0$，$\eta\to 0$，由 $f^{(n+1)}$ 的连续性知 $\lim_{x\to 0}\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{f^{(n+1)}(\eta)}=1$，故 $\lim_{x\to 0}\theta^n = \frac{1}{n+1}$，从而 $\lim_{x\to 0}\theta = \frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}$。
公式：\lim_{x\to 0}\theta = \frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}
提示：注意 $f^{(n+1)}(0)\neq 0$ 保证了分母不为零，且连续性保证了极限为1。
步骤 8/8
目标：第十一题：取极限求 $\theta$
两边除以 $x^{n+1}$（$x\neq0$）并令 $x\to0$，得 $$\frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}=\frac{f^{(n+1)}(0)}{n!}\lim_{x\to0}\theta^n.$$ 由于 $f^{(n+1)}(0)\neq0$，约去得 $$\frac{1}{n+1}=\lim_{x\to0}\theta^n,$$ 故 $\lim_{x\to0}\theta=\frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}$。
公式：\lim_{x\to0}\theta=\frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}
提示：注意 $\theta$ 可能依赖于 $x$，但极限存在。
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