北京邮电大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
六．计算第二型曲线积分
$$
I=\int_{L} x y \mathrm{~d} x+(x-y) \mathrm{d} y+x^{2} \mathrm{~d} z .
$$
其中 $L$ 为螺旋线：$\displaystyle x=a \cos t, y=a \sin t, z=b t$ ，从 $\displaystyle t=0$ 到 $\displaystyle t=\pi, a, b$ 为常数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出参数化形式并计算微分
已知螺旋线的参数方程为：
\[ x = a \cos t, \quad y = a \sin t, \quad z = b t \]
其中 \(t\) 从 \(0\) 到 \(\pi\)。
对参数 \(t\) 求微分得：
\[ dx = -a \sin t \, dt, \quad dy = a \cos t \, dt, \quad dz = b \, dt \]
公式：\mathrm{d}x = -a\sin t\,\mathrm{d}t,\quad \mathrm{d}y = a\cos t\,\mathrm{d}t,\quad \mathrm{d}z = b\,\mathrm{d}t
提示：注意微分时不要遗漏系数，特别是 \(dx\) 中的负号。
步骤 2/5
目标：将被积表达式逐项代入参数形式
原积分为 \(I = \int_L xy\,dx + (x-y)\,dy + x^2\,dz\)，逐项代入：
1. 第一项：
\[ xy = a\cos t \cdot a\sin t = a^2 \cos t \sin t \]
乘以 \(dx = -a\sin t\,dt\) 得：
\[ -a^3 \cos t \sin^2 t \, dt \]
2. 第二项：
\[ x-y = a\cos t - a\sin t \]
乘以 \(dy = a\cos t\,dt\) 得：
\[ a^2(\cos^2 t - \sin t \cos t)\,dt \]
3. 第三项：
\[ x^2 = a^2 \cos^2 t \]
乘以 \(dz = b\,dt\) 得：
\[ a^2 b \cos^2 t \, dt \]
公式：\begin{aligned} xy\,dx &= -a^3\cos t\sin^2 t\,dt \\ (x-y)\,dy &= a^2(\cos^2 t - \sin t\cos t)\,dt \\ x^2\,dz &= a^2b\cos^2 t\,dt \end{aligned}
提示：代入时注意每一项的系数和符号，尤其是第一项中 \(dx\) 的负号。
步骤 3/5
目标：合并被积函数并化简
将三项相加得到被积函数：
\[ I = \int_0^\pi \left[ -a^3 \cos t \sin^2 t + a^2(\cos^2 t - \sin t \cos t) + a^2 b \cos^2 t \right] dt \]
合并含 \(a^2\cos^2 t\) 的项：
\[ a^2\cos^2 t + a^2 b\cos^2 t = a^2(1+b)\cos^2 t \]
因此：
\[ I = \int_0^\pi \left[ -a^3 \cos t \sin^2 t + a^2(1+b)\cos^2 t - a^2 \sin t \cos t \right] dt \]
公式：I = \int_0^\pi \left[ -a^3 \cos t \sin^2 t + a^2(1+b)\cos^2 t - a^2 \sin t \cos t \right] dt
提示：合并同类项时注意系数，\(a^2\) 和 \(a^2b\) 是同类项。
步骤 4/5
目标：分别计算三个积分
将积分拆分为三部分：
1. \(I_1 = -a^3 \int_0^\pi \cos t \sin^2 t\,dt\)
令 \(u = \sin t\)，则 \(du = \cos t\,dt\)，当 \(t=0\) 时 \(u=0\)，\(t=\pi\) 时 \(u=0\)，故 \(I_1 = 0\)。
2. \(I_2 = a^2(1+b) \int_0^\pi \cos^2 t\,dt\)
利用公式 \(\int_0^\pi \cos^2 t\,dt = \frac{\pi}{2}\)，得 \(I_2 = a^2(1+b) \cdot \frac{\pi}{2}\)。
3. \(I_3 = -a^2 \int_0^\pi \sin t \cos t\,dt\)
由于 \(\sin t \cos t = \frac{1}{2}\sin 2t\)，在 \([0,\pi]\) 上积分为 \(0\)，故 \(I_3 = 0\)。
公式：\begin{aligned} I_1 &= -a^3 \int_0^\pi \cos t \sin^2 t\,dt = 0 \\ I_2 &= a^2(1+b) \int_0^\pi \cos^2 t\,dt = \frac{\pi a^2(1+b)}{2} \\ I_3 &= -a^2 \int_0^\pi \sin t \cos t\,dt = 0 \end{aligned}
提示：对于 \(I_1\)，注意换元后上下限相同导致积分为零；\(I_3\) 可利用对称性或直接积分判断为零。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
将三个积分结果相加：
\[ I = 0 + \frac{\pi a^2(1+b)}{2} + 0 = \frac{\pi a^2(1+b)}{2} \]
公式：\boxed{\dfrac{\pi a^{2}(1+b)}{2}}
提示：最终结果应化简为最简形式，注意 \(a\) 和 \(b\) 为常数。
步骤 6/6
目标：合并结果
将各项积分结果代入：
$$ I = -a^3 \cdot 0 - a^2 \cdot 0 + a^2(1+b) \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi a^2 (1+b)}{2} $$
提示：注意系数 $a^2(1+b)$ 不要遗漏。
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