北京邮电大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
十三．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的一个邻域内连续，证明：函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件是 $\displaystyle \varphi(0,0)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：回顾可微定义，简化条件
函数 $f$ 在 $(0,0)$ 处可微，意味着存在常数 $A,B$，使得
\[
f(x,y)-f(0,0)=A x+B y+o\big(\sqrt{x^2+y^2}\big),\quad (x,y)\to(0,0).
\]
由于 $f(0,0)=|0-0|\varphi(0,0)=0$，条件简化为
\[
f(x,y)=A x+B y+o\big(\sqrt{x^2+y^2}\big).
\]
公式：$f(x,y)=A x+B y+o(\sqrt{x^2+y^2})$
提示：注意 $f(0,0)=0$ 是自动成立的，但可微要求线性近似成立。
步骤 2/7
目标：必要性：利用方向 $y=x$ 得到 $A+B=0$
沿直线 $y=x$ 有 $x-y=0$，故 $f(x,x)=0$。代入可微表达式得
\[
0 = A x + B x + o(|x|) = (A+B)x + o(|x|).
\]
令 $x\to 0$，除以 $x$ 得 $A+B=0$。
公式：$A+B=0$
提示：注意 $o(|x|)$ 除以 $x$ 后仍趋于 $0$。
步骤 3/7
目标：必要性：利用方向 $y=0$ 得到 $\varphi(0,0)=A$
沿 $y=0$ 有 $f(x,0)=|x|\varphi(x,0)$。可微条件给出
\[
|x|\varphi(x,0)=A x+o(|x|).
\]
当 $x>0$ 时，$x\varphi(x,0)=A x+o(x)$，除以 $x$ 并令 $x\to 0^+$ 得 $\varphi(0,0)=A$。
当 $x<0$ 时，$(-x)\varphi(x,0)=A x+o(|x|)$，即 $-|x|\varphi=A(-|x|)+o(|x|)$，除以 $|x|$ 并令 $x\to 0^-$ 得 $-\varphi(0,0)=-A$，即 $\varphi(0,0)=A$。
公式：$\varphi(0,0)=A$
提示：注意 $x$ 正负不同时绝对值表达式的处理。
步骤 4/7
目标：必要性：利用方向 $x=0$ 得到 $\varphi(0,0)=-B$
沿 $x=0$ 有 $f(0,y)=|y|\varphi(0,y)$。可微条件给出
\[
|y|\varphi(0,y)=B y+o(|y|).
\]
类似地，分析 $y>0$ 和 $y<0$ 可得 $\varphi(0,0)=B$ 和 $\varphi(0,0)=-B$，实际上统一得到 $\varphi(0,0)=B$（因为 $y>0$ 时 $|y|=y$，$y<0$ 时 $|y|=-y$，代入后均得 $\varphi(0,0)=B$）。但结合 $A+B=0$，有 $A=-B$，故 $\varphi(0,0)=A=-B$。
公式：$\varphi(0,0)=B$ 且 $A=-B$
提示：注意符号：当 $y<0$ 时 $|y|=-y$，代入后两边除以 $|y|$ 得 $\varphi(0,0)=B$。
步骤 5/7
目标：必要性：利用方向 $y=2x$ 得到 $\varphi(0,0)=A+2B$，结合前式推出 $A=B=0$
沿 $y=2x$ 有 $x-y=-x$，故 $|x-y|=|x|$，$f(x,2x)=|x|\varphi(x,2x)$。可微条件给出
\[
|x|\varphi(x,2x)=A x+B(2x)+o(|x|)=(A+2B)x+o(|x|).
\]
当 $x>0$ 时，$x\varphi(x,2x)=(A+2B)x+o(x)$，除以 $x$ 得 $\varphi(0,0)=A+2B$。
当 $x<0$ 时，$-|x|\varphi=(A+2B)(-|x|)+o(|x|)$，除以 $|x|$ 得 $-\varphi(0,0)=-(A+2B)$，即 $\varphi(0,0)=A+2B$。
现在有 $\varphi(0,0)=A$ 和 $\varphi(0,0)=A+2B$，故 $A=A+2B$，得 $B=0$。再由 $A+B=0$ 得 $A=0$，从而 $\varphi(0,0)=0$。
公式：$\varphi(0,0)=A+2B$，结合 $\varphi(0,0)=A$ 得 $B=0$，$A=0$
提示：选择 $y=2x$ 是为了得到 $A$ 和 $B$ 的另一个关系，从而解出 $A,B$。
步骤 6/7
目标：充分性：由 $\varphi(0,0)=0$ 及连续性证明可微
已知 $\varphi$ 在 $(0,0)$ 连续且 $\varphi(0,0)=0$，则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $\sqrt{x^2+y^2}<\delta$ 时，$|\varphi(x,y)|<\varepsilon$。于是
\[
|f(x,y)|=|x-y|\,|\varphi(x,y)|\le |x-y|\,\varepsilon.
\]
又 $|x-y|\le |x|+|y|\le \sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}$，故
\[
|f(x,y)|\le \varepsilon\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}.
\]
这表明 $f(x,y)=0\cdot x+0\cdot y+o(\sqrt{x^2+y^2})$，即 $f$ 在原点可微且全微分为 $0$。
公式：$|f(x,y)|\le \varepsilon\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}$
提示：关键是利用 $\varphi$ 的连续性控制其绝对值，并用 $|x-y|$ 的估计得到 $o$ 项。
步骤 7/7
目标：总结充要条件
必要性证明：若 $f$ 在 $(0,0)$ 可微，则 $\varphi(0,0)=0$。
充分性证明：若 $\varphi(0,0)=0$，则 $f$ 在 $(0,0)$ 可微。
因此，$f(x,y)=|x-y|\varphi(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微的充要条件是 $\varphi(0,0)=0$。
公式：充要条件：$\varphi(0,0)=0$
提示：注意可微定义中线性部分 $A,B$ 由偏导数决定，但这里最终推出 $A=B=0$。
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