北京邮电大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
八．设 $\displaystyle a_{n}>0, n=1,2,3, \cdots$ ，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=l, l$ 为常数，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=l$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和待证结论
已知正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=l$，需要证明 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}=l$。这是数学分析中由比值极限推导根值极限的经典结论。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=l \quad \Rightarrow \quad \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}=l$$
提示：注意 $a_n>0$ 是前提，保证开方和不等式方向不变。
步骤 2/6
目标：分情况讨论：先处理 $l>0$ 的情形
当 $l>0$ 时，由极限定义，对任意 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，使得当 $n\ge N$ 时，有 $l-\varepsilon < \frac{a_{n+1}}{a_n} < l+\varepsilon$。
公式：$$\forall \varepsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall n\ge N: l-\varepsilon < \frac{a_{n+1}}{a_n} < l+\varepsilon$$
提示：这里 $\varepsilon$ 要取得足够小，使得 $l-\varepsilon>0$，以保证后续乘法有意义。
步骤 3/6
目标：从 $n=N$ 开始递推得到 $a_n$ 的上下界
从 $n=N$ 开始反复应用不等式：
$$(l-\varepsilon)a_N < a_{N+1} < (l+\varepsilon)a_N$$
$$(l-\varepsilon)^2 a_N < a_{N+2} < (l+\varepsilon)^2 a_N$$
依此类推，对任意 $k\ge 0$，有
$$(l-\varepsilon)^k a_N < a_{N+k} < (l+\varepsilon)^k a_N$$
令 $n=N+k$，则 $k=n-N$，得
$$(l-\varepsilon)^{n-N} a_N < a_n < (l+\varepsilon)^{n-N} a_N$$
公式：$$(l-\varepsilon)^{n-N} a_N < a_n < (l+\varepsilon)^{n-N} a_N$$
提示：递推时注意不等式方向不变，因为所有项为正。
步骤 4/6
目标：对不等式开 $n$ 次方并取极限
对不等式各部分开 $n$ 次方（正数开方保持不等号方向）：
$$(l-\varepsilon)^{1-\frac{N}{n}} \cdot a_N^{1/n} < \sqrt[n]{a_n} < (l+\varepsilon)^{1-\frac{N}{n}} \cdot a_N^{1/n}$$
当 $n\to\infty$ 时，$a_N^{1/n}\to 1$，$(l-\varepsilon)^{1-N/n}\to l-\varepsilon$，$(l+\varepsilon)^{1-N/n}\to l+\varepsilon$。因此存在 $N'$，当 $n>N'$ 时，有
$$l-2\varepsilon < \sqrt[n]{a_n} < l+2\varepsilon$$
由 $\varepsilon$ 的任意性，得 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}=l$。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}=l$$
提示：注意 $a_N^{1/n}\to 1$ 是因为 $a_N$ 是固定正数；$\varepsilon$ 的任意性要求最后用 $2\varepsilon$ 来夹逼。
步骤 5/6
目标：处理 $l=0$ 的特殊情形
当 $l=0$ 时，对任意 $\varepsilon>0$（取 $0<\varepsilon<1$），存在 $N$，当 $n\ge N$ 时，$\frac{a_{n+1}}{a_n} < \varepsilon$。反复应用得 $a_{N+k} < \varepsilon^k a_N$，即 $a_n < \varepsilon^{n-N} a_N$。开 $n$ 次方得
$$\sqrt[n]{a_n} < \varepsilon^{1-\frac{N}{n}} \cdot a_N^{1/n}$$
当 $n\to\infty$ 时，右边趋于 $\varepsilon$。由 $\varepsilon$ 的任意小性，得 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}=0=l$。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}=0$$
提示：取 $\varepsilon<1$ 是为了保证 $\varepsilon^k$ 趋于0；注意这里只有上界，下界为0，用夹逼定理时下界自然成立。
步骤 6/6
目标：总结结论
综合 $l>0$ 和 $l=0$ 两种情况，由比值极限存在可推出根值极限存在且相等，即 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}=l$。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}=l$$
提示：该结论是正项级数比值判别法与根值判别法等价性的基础，但注意比值极限存在是根值极限存在的充分条件而非必要条件。
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