华东师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分）
（1）。如果 $\displaystyle \forall p \in \mathbb{N}_{+}$有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+p}-a_{n}\right)=0$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。
（2）。如果偏导数 $\displaystyle f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 和 $\displaystyle f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续。
（3）．如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，则对于任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 是绝对收玫的。
（4）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在原函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（5）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (x, y)$ 上连续，$\displaystyle f^{2}(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续。
（6）。如果 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断命题（1）的正确性
命题：如果 $\forall p \in \mathbb{N}_{+}$ 有 $\lim_{n \to \infty} (a_{n+p} - a_n) = 0$，则数列 $\{a_n\}$ 收敛。\n反例：取 $a_n = \ln n$。对于任意固定的 $p$，有 $a_{n+p} - a_n = \ln(n+p) - \ln n = \ln(1 + \frac{p}{n}) \to 0$（$n \to \infty$），但 $\{\ln n\}$ 发散到无穷大，不收敛。因此命题错误。
公式：$\lim_{n \to \infty} (\ln(n+p) - \ln n) = 0$
提示：注意：条件仅保证任意固定步长的差趋于0，但数列可能无界或振荡，如 $a_n = \ln n$ 或 $a_n = \sin(\ln n)$。
步骤 2/6
目标：判断命题（2）的正确性
命题：如果偏导数 $f_x(x_0, y_0)$ 和 $f_y(x_0, y_0)$ 都存在，则 $f(x, y)$ 在 $P_0(x_0, y_0)$ 连续。\n反例：定义 $f(x, y) = 0$ 若 $xy = 0$，$f(x, y) = 1$ 若 $xy \neq 0$。在 $(0,0)$ 处，沿 $x$ 轴 $f(x,0)=0$，故 $f_x(0,0)=0$；同理 $f_y(0,0)=0$。但 $f$ 在 $(0,0)$ 不连续（任何邻域内既有0也有1）。因此命题错误。
公式：$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = 0$
提示：偏导数存在只保证沿坐标轴方向的变化率存在，不能推出全微分存在，更不能保证连续性。
步骤 3/6
目标：判断命题（3）的正确性
命题：如果级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上一致收敛，则对于任何 $x \in [a, b]$，级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$ 是绝对收敛的。\n反例：在 $[0,1]$ 上考虑 $u_n(x) = \frac{(-1)^n}{n}$（与 $x$ 无关）。该级数一致收敛（因为收敛且与 $x$ 无关），但 $\sum \left| \frac{(-1)^n}{n} \right| = \sum \frac{1}{n}$ 发散。因此命题错误。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ 条件收敛
提示：一致收敛与绝对收敛是两个独立的概念，一致收敛的级数未必绝对收敛。
步骤 4/6
目标：判断命题（4）的正确性
命题：如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在原函数，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。\n反例：考虑 $F(x) = x^2 \sin(1/x^2)$（$x \neq 0$），$F(0)=0$，则 $f(x)=F'(x)=2x\sin(1/x^2) - \frac{2}{x}\cos(1/x^2)$（$x \neq 0$），$f(0)=0$。$f$ 在 $[-1,1]$ 上有原函数 $F$，但 $f$ 在 $0$ 附近无界，不是 Riemann 可积的。因此命题错误。
公式：$f(x) = 2x\sin(1/x^2) - \frac{2}{x}\cos(1/x^2)$
提示：存在原函数不保证函数有界，而 Riemann 可积要求函数有界。
步骤 5/6
目标：判断命题（5）的正确性
命题：如果函数 $f(x)$ 在有限开区间 $(a, b)$ 上连续，$f^2(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续。\n证明：假设 $f$ 不一致连续，则存在 $\varepsilon_0 > 0$ 及点列 $x_n, y_n \in (a,b)$ 满足 $|x_n - y_n| \to 0$ 但 $|f(x_n) - f(y_n)| \ge \varepsilon_0$。由于 $f^2$ 一致连续，对 $\varepsilon_0^2$ 存在 $\delta > 0$，当 $|x_n - y_n| < \delta$ 时，$|f^2(x_n) - f^2(y_n)| < \varepsilon_0^2$。但 $|f^2(x_n) - f^2(y_n)| = |f(x_n) - f(y_n)| \cdot |f(x_n) + f(y_n)| \ge \varepsilon_0 \cdot |f(x_n) + f(y_n)|$，故 $|f(x_n) + f(y_n)| < \varepsilon_0$。结合 $|f(x_n) - f(y_n)| \ge \varepsilon_0$，推出 $|f(x_n)|$ 和 $|f(y_n)|$ 有界且接近，但矛盾在于 $f$ 在有限开区间上连续，若 $f$ 无界则 $f^2$ 不可能一致连续。因此 $f$ 必须一致连续。命题正确。
公式：$|f^2(x) - f^2(y)| = |f(x)-f(y)| \cdot |f(x)+f(y)|$
提示：关键利用 $f^2$ 的一致连续性以及 $f$ 的连续性，通过反证法处理。
步骤 6/6
目标：判断命题（6）的正确性
命题：如果 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，且 $\varphi(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上有界，则 $\int_a^{+\infty} f(x) \varphi(x) \, dx$ 收敛。\n反例：取 $a=1$，$f(x) = \frac{\sin x}{x}$，$\varphi(x) = \sin x$。$\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx$ 条件收敛（Dirichlet 积分），$\varphi$ 有界。但 $f(x)\varphi(x) = \frac{\sin^2 x}{x} = \frac{1 - \cos 2x}{2x}$，$\int_1^{+\infty} \frac{1}{2x} \, dx$ 发散，而 $\int_1^{+\infty} \frac{\cos 2x}{2x} \, dx$ 收敛，故整体发散。因此命题错误。
公式：$\int_1^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x} \, dx = \frac{1}{2} \int_1^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx - \frac{1}{2} \int_1^{+\infty} \frac{\cos 2x}{x} \, dx$
提示：条件收敛的积分乘以有界函数后可能发散，需注意乘积的积分性质。
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