📝 华东师范大学 2014年数学分析真题
第0题
一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分）
（1）。如果 $\displaystyle \forall p \in \mathbb{N}_{+}$有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+p}-a_{n}\right)=0$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。
（2）。如果偏导数 $\displaystyle f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 和 $\displaystyle f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续。
（3）．如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，则对于任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 是绝对收玫的。
（4）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在原函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（5）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (x, y)$ 上连续，$\displaystyle f^{2}(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续。
（6）。如果 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
（1）。如果 $\displaystyle \forall p \in \mathbb{N}_{+}$有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+p}-a_{n}\right)=0$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。
（2）。如果偏导数 $\displaystyle f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 和 $\displaystyle f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续。
（3）．如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，则对于任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 是绝对收玫的。
（4）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在原函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（5）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (x, y)$ 上连续，$\displaystyle f^{2}(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续。
（6）。如果 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
第0题
三、证明下列各题（每小题 $\displaystyle \mathbf{1 3}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{7 8}$ 分）
（1）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0, x \in[0,1]$ ．证明：
$$
\int_{0}^{1} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{n+1}\right), \forall n \in \mathbb{N}_{+}
$$
（2）．设有数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ：
$$
a_{1}=1, a_{2}=4, a_{n+1}=\frac{a_{n-1}+a_{n}}{2}, n=2,3,4 \cdots
$$
证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。
（3）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上，$\displaystyle f(1)=1$ ，且当 $\displaystyle x \geqslant 1$ 时，有
$$
f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}
$$
证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 有限且其极限小于 $\displaystyle 1+\frac{\pi}{4}$ ．
（4）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ ，数列 $\displaystyle \{f(x+n)\}$ 收敛于 0 ．证明：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0
$$
（5）．设有级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ．如果对任何收敛于 0 的数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$绝对收敛。
（6）．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 为定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的函数列，且存在常数 $\displaystyle L \geqslant 0$ 满足：
$$
\left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant L|x-y|, x, y \in[a, b], n \in \mathbb{N}_{+}
$$
证明：（i）．若 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，
（ii）．若对于任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 都有界，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 存在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛的子列．
（1）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0, x \in[0,1]$ ．证明：
$$
\int_{0}^{1} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{n+1}\right), \forall n \in \mathbb{N}_{+}
$$
（2）．设有数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ：
$$
a_{1}=1, a_{2}=4, a_{n+1}=\frac{a_{n-1}+a_{n}}{2}, n=2,3,4 \cdots
$$
证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。
（3）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上，$\displaystyle f(1)=1$ ，且当 $\displaystyle x \geqslant 1$ 时，有
$$
f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}
$$
证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 有限且其极限小于 $\displaystyle 1+\frac{\pi}{4}$ ．
（4）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ ，数列 $\displaystyle \{f(x+n)\}$ 收敛于 0 ．证明：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0
$$
（5）．设有级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ．如果对任何收敛于 0 的数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$绝对收敛。
（6）．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 为定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的函数列，且存在常数 $\displaystyle L \geqslant 0$ 满足：
$$
\left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant L|x-y|, x, y \in[a, b], n \in \mathbb{N}_{+}
$$
证明：（i）．若 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，
（ii）．若对于任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 都有界，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 存在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛的子列．
第0题
二、求解下列各题（每小题9分，共36分）
（1）．求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n}\right]^{\frac{1}{x}}
$$
（2）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续可导，计算积分
$$
\iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{1}{z} f\left(\frac{y}{z}\right)+y^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{1}{y} f\left(\frac{y}{z}\right)+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 为锥面 $\displaystyle y^{2}+z^{2}=x^{2}(x>0)$ 与球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 所围成立体的表面．
（3）．将函数 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{4+x^{2}}{4-x^{2}}$ 展成 $x$ 的幂级数，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) 2^{2 n+1}}$ 的和．
（4）．设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上具有二阶偏导数，且满足
$$
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)},(x, y) \in D
$$
求积分 $\displaystyle \iint_{D}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1）．求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n}\right]^{\frac{1}{x}}
$$
（2）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续可导，计算积分
$$
\iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{1}{z} f\left(\frac{y}{z}\right)+y^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{1}{y} f\left(\frac{y}{z}\right)+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 为锥面 $\displaystyle y^{2}+z^{2}=x^{2}(x>0)$ 与球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 所围成立体的表面．
（3）．将函数 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{4+x^{2}}{4-x^{2}}$ 展成 $x$ 的幂级数，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) 2^{2 n+1}}$ 的和．
（4）．设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上具有二阶偏导数，且满足
$$
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)},(x, y) \in D
$$
求积分 $\displaystyle \iint_{D}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．