华东师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
二、求解下列各题（每小题9分，共36分）
（1）．求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n}\right]^{\frac{1}{x}}
$$
（2）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续可导，计算积分
$$
\iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{1}{z} f\left(\frac{y}{z}\right)+y^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{1}{y} f\left(\frac{y}{z}\right)+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 为锥面 $\displaystyle y^{2}+z^{2}=x^{2}(x>0)$ 与球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 所围成立体的表面．
（3）．将函数 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{4+x^{2}}{4-x^{2}}$ 展成 $x$ 的幂级数，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) 2^{2 n+1}}$ 的和．
（4）．设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上具有二阶偏导数，且满足
$$
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)},(x, y) \in D
$$
求积分 $\displaystyle \iint_{D}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简函数表达式
观察到 $\frac{4+x^2}{4-x^2} = \frac{1+\frac{x^2}{4}}{1-\frac{x^2}{4}}$，令 $t = \frac{x^2}{4}$，则 $f(x) = \arctan\frac{1+t}{1-t}$。利用公式 $\arctan\frac{1+t}{1-t} = \frac{\pi}{4} + \arctan t$（$|t|<1$），得到 $f(x) = \frac{\pi}{4} + \arctan\left(\frac{x^2}{4}\right)$。
公式：\arctan\frac{1+t}{1-t} = \frac{\pi}{4} + \arctan t
提示：注意公式成立条件 $|t|<1$，即 $|x|<2$。
步骤 2/5
目标：展开 $\arctan\left(\frac{x^2}{4}\right)$ 为幂级数
利用 $\arctan u$ 的麦克劳林展开：$\arctan u = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{u^{2n+1}}{2n+1}$，其中 $|u|<1$。令 $u = \frac{x^2}{4}$，得 $\arctan\left(\frac{x^2}{4}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1} \left(\frac{x^2}{4}\right)^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)4^{2n+1}} x^{4n+2}$。
公式：\arctan u = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{u^{2n+1}}{2n+1}
提示：注意 $u$ 替换后指数为 $4n+2$，系数分母有 $4^{2n+1}$。
步骤 3/5
目标：写出 $f(x)$ 的完整幂级数展开
将常数项加上：$f(x) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)4^{2n+1}} x^{4n+2}$，收敛区间为 $|x|<2$。
公式：f(x) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)4^{2n+1}} x^{4n+2}
提示：常数项 $\frac{\pi}{4}$ 不能遗漏。
步骤 4/5
目标：利用展开式求级数和
所求级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)2^{2n+1}}$。观察 $f(x)$ 展开式中，令 $x = \sqrt{2}$，则 $x^{4n+2} = (\sqrt{2})^{4n+2} = 2^{2n+1}$，且 $4^{2n+1} = 2^{4n+2}$，于是 $\frac{x^{4n+2}}{4^{2n+1}} = \frac{2^{2n+1}}{2^{4n+2}} = \frac{1}{2^{2n+1}}$。因此 $f(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)2^{2n+1}}$。
公式：f(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)2^{2n+1}}
提示：注意 $x = \sqrt{2}$ 在收敛区间 $|x|<2$ 内。
步骤 5/5
目标：计算 $f(\sqrt{2})$ 的值
直接代入原函数：$f(\sqrt{2}) = \arctan\frac{4+2}{4-2} = \arctan\frac{6}{2} = \arctan 3$。因此 $\arctan 3 = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)2^{2n+1}}$，移项得 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)2^{2n+1}} = \arctan 3 - \frac{\pi}{4}$。
公式：\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)2^{2n+1}} = \arctan 3 - \frac{\pi}{4}
提示：最终结果可化简为 $\arctan\frac{1}{2}$？实际上 $\arctan 3 - \frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2}$（利用正切差公式），但保留 $\arctan 3 - \frac{\pi}{4}$ 亦可。
步骤 6/8
目标：计算三重积分
先对 $r$ 积分：$\int_1^2 3r^4 \, dr = 3 \cdot \frac{2^5-1}{5} = \frac{93}{5}$。再对 $\theta$ 积分：$\int_0^{\pi/4} \sin\theta \, d\theta = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$。最后对 $\phi$ 积分得 $2\pi$。相乘得 $\frac{186\pi}{5} \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。
公式：$\iint_\Sigma \cdots = \frac{186\pi}{5} \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
提示：积分顺序可调，但注意各积分限的对应关系。
步骤 7/8
目标：化简函数表达式，便于幂级数展开
利用公式 $\arctan u + \arctan v = \arctan\frac{u+v}{1-uv}$，取 $u=1$, $v=\frac{x^2}{4}$，则 $\tan\left(\frac{\pi}{4} + \arctan\frac{x^2}{4}\right) = \frac{1+\frac{x^2}{4}}{1-\frac{x^2}{4}} = \frac{4+x^2}{4-x^2}$。因此 $f(x) = \frac{\pi}{4} + \arctan\frac{x^2}{4}$。
公式：$f(x) = \frac{\pi}{4} + \arctan\frac{x^2}{4}$
提示：注意 $\arctan$ 的主值范围，该等式对 $|x|<2$ 成立。
步骤 8/8
目标：展开为幂级数并求指定级数的和
已知 $\arctan t = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{t^{2n+1}}{2n+1}$（$|t|<1$）。令 $t = \frac{x^2}{4}$，得 $\arctan\frac{x^2}{4} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \frac{x^{4n+2}}{4^{2n+1}}$。因此 $f(x) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)4^{2n+1}} x^{4n+2}$。令 $x=1$，得 $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)4^{2n+1}} = f(1) - \frac{\pi}{4} = \arctan\frac{5}{3} - \frac{\pi}{4}$。注意题目要求的是 $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)2^{2n+1}}$，对比系数，$4^{2n+1} = 2^{4n+2}$，而 $2^{2n+1}$ 对应 $4n+2=2n+1$ 无解，需重新审视。实际上，令 $x=\sqrt{2}$ 代入展开式：$f(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)4^{2n+1}} (\sqrt{2})^{4n+2} = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)4^{2n+1}} \cdot 2^{2n+1} = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)2^{2n+1}}$。而 $f(\sqrt{2}) = \arctan\frac{4+2}{4-2} = \arctan 3$。因此所求级数和为 $\arctan 3 - \frac{\pi}{4}$。
公式：$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)2^{2n+1}} = \arctan 3 - \frac{\pi}{4}$
提示：注意幂级数展开后，通过代入特定 $x$ 值来求数项级数的和，需仔细匹配指数。
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