华东师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分）
（1）．如果 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}_{+}$，当 $\displaystyle n>N$ 时，有 $\displaystyle \left|a_{n}-a_{N}\right|<\varepsilon$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。
（2）．如果函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}_{+}$，均有 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（3）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点连续，且
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(x_{0}+\frac{1}{n}\right)-f\left(x_{0}\right)}{\frac{1}{n}}
$$
存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点的右导数存在．
（4）．如果函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle \exists \xi \in[a, b]$ ，使得
$$
\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x
$$
（5）．如果函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的偏导数在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内存在且有界，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$连续．
（6）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的非负连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断命题（1）的正确性
命题（1）的条件是：对任意 ε>0，存在 N，当 n>N 时，有 |a_n - a_N| < ε。这比柯西收敛条件更强，因为柯西条件要求对任意 m,n>N 有 |a_m - a_n| < ε。由给定条件，对任意 m,n>N，有 |a_m - a_n| ≤ |a_m - a_N| + |a_N - a_n| < 2ε，因此数列满足柯西条件，从而收敛。故命题正确。
公式：|a_m - a_n| \leq |a_m - a_N| + |a_N - a_n| < 2\varepsilon
提示：注意区分该条件与标准柯西条件的差异，该条件实际上更强，因此可推出收敛。
步骤 2/6
目标：判断命题（2）的正确性
命题（2）声称：若函数列 {f_n} 在 [a,b] 上一致收敛于连续函数 f，则每个 f_n 在 [a,b] 上连续。这是错误的。反例：定义 f_n(x) = 0 当 x 为无理数，f_n(x) = 1/n 当 x 为有理数。每个 f_n 处处不连续（因为有理数无理数稠密），但 f_n 一致收敛到 f(x)=0（连续函数）。
公式：\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in[a,b]} |f_n(x)-0| = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0
提示：一致收敛保持连续性是从极限函数到函数列的单向性质，不能反向推导。
步骤 3/6
目标：判断命题（3）的正确性
命题（3）的条件是 f 在 x_0 连续，且沿特殊数列 x_0+1/n 的差商极限存在。右导数要求对所有趋于 x_0^+ 的方式极限存在且相等。反例：令 f(0)=0，当 x>0 时 f(x)=x\sin(1/x)。f 在 0 连续，且 f(1/n)=(1/n)\sin(n\pi)=0，故差商为 0，极限存在。但右导数不存在，因为沿 x=1/(2n\pi+\pi/2) 的差商振荡。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{f(1/n)-f(0)}{1/n} = 0, \quad \text{但} \quad \lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x} \text{不存在}
提示：单点列极限存在不能保证函数极限存在，需考虑所有路径。
步骤 4/6
目标：判断命题（4）的正确性
命题（4）是积分第一中值定理的推广形式，但缺少 g(x) 不变号的条件。反例：取 [a,b]=[-1,1]，f(x)=x，g(x)=x。左边 ∫_{-1}^1 x^2 dx = 2/3，右边 f(ξ)∫_{-1}^1 x dx = f(ξ)·0 = 0，不可能相等。故命题错误。
公式：\int_{-1}^1 x^2 \, dx = \frac{2}{3}, \quad \int_{-1}^1 x \, dx = 0
提示：积分中值定理要求被乘函数不变号，否则 ξ 可能不存在。
步骤 5/6
目标：判断命题（5）的正确性
命题（5）正确。设偏导数在 P_0 某邻域内有界，即存在 M>0 使得 |f_x|,|f_y| ≤ M。则对任意 (h,k) 充分小，由中值定理：|f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)| ≤ |f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)| + |f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)| ≤ M|h| + M|k|，当 (h,k)→(0,0) 时趋于 0，故 f 在 P_0 连续。
公式：|f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)| \leq M|h| + M|k| \to 0 \quad (h,k\to 0)
提示：偏导数有界是连续性的充分条件，但非必要条件。
步骤 6/6
目标：判断命题（6）的正确性
命题（6）错误。反例：构造非负连续函数 f，在 x=n 处有高为 1、底宽为 1/n^2 的三角形，面积为 1/(2n^2)，其余地方为 0。则 ∫_a^∞ f(x)dx 收敛（∑ 1/(2n^2) 收敛），但 f(n)=1 不趋于 0。
公式：\int_a^\infty f(x)\,dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n^2} < \infty, \quad \limsup_{x\to\infty} f(x) = 1
提示：非负函数积分收敛不能推出函数趋于 0，反例常利用尖峰构造。
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