📝 华东师范大学 2015年数学分析真题
第0题
一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分）
（1）．如果 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}_{+}$，当 $\displaystyle n>N$ 时，有 $\displaystyle \left|a_{n}-a_{N}\right|<\varepsilon$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。
（2）．如果函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}_{+}$，均有 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（3）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点连续，且
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(x_{0}+\frac{1}{n}\right)-f\left(x_{0}\right)}{\frac{1}{n}}
$$
存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点的右导数存在．
（4）．如果函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle \exists \xi \in[a, b]$ ，使得
$$
\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x
$$
（5）．如果函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的偏导数在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内存在且有界，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$连续．
（6）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的非负连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。
（1）．如果 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}_{+}$，当 $\displaystyle n>N$ 时，有 $\displaystyle \left|a_{n}-a_{N}\right|<\varepsilon$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。
（2）．如果函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}_{+}$，均有 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（3）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点连续，且
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(x_{0}+\frac{1}{n}\right)-f\left(x_{0}\right)}{\frac{1}{n}}
$$
存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点的右导数存在．
（4）．如果函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle \exists \xi \in[a, b]$ ，使得
$$
\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x
$$
（5）．如果函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的偏导数在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内存在且有界，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$连续．
（6）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的非负连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。
第0题
三、证明下列各题（每小题 13 分，共 78 分）
（1）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内每一点的左右极限都存在，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（2）．设函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, \infty)$ 上连续，且
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0
$$
证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
（3）．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 收敛，且
$$
a_{k} \leqslant a_{n} \quad \forall n<k \leqslant 2 n
$$
证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．
（4）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上三阶可导，且 $\displaystyle f(x), f^{\prime \prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上都有界，证明： $\displaystyle f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界。
（5）．设 $\displaystyle \forall b>0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\alpha$ ，令
$$
F(t)=t \int_{0}^{+\infty} e^{-t x} f(x) \mathrm{d} x
$$
证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} F(t)=\alpha$ ．
（6）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，
$$
f(0) f(1)>0, f^{\prime \prime}(x)>0
$$
证明：（i）．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内有且仅有两个零点，
（ii）．存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t$ ．
（1）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内每一点的左右极限都存在，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（2）．设函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, \infty)$ 上连续，且
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0
$$
证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
（3）．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 收敛，且
$$
a_{k} \leqslant a_{n} \quad \forall n<k \leqslant 2 n
$$
证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．
（4）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上三阶可导，且 $\displaystyle f(x), f^{\prime \prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上都有界，证明： $\displaystyle f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界。
（5）．设 $\displaystyle \forall b>0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\alpha$ ，令
$$
F(t)=t \int_{0}^{+\infty} e^{-t x} f(x) \mathrm{d} x
$$
证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} F(t)=\alpha$ ．
（6）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，
$$
f(0) f(1)>0, f^{\prime \prime}(x)>0
$$
证明：（i）．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内有且仅有两个零点，
（ii）．存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t$ ．
第0题
二、求解下列各题（每小题 $\displaystyle \mathbf{9}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分）
（1）．
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1} n!}{n^{n}}
$$
（2）．计算积分
$$
\iint_{S}\left(x^{2}+y-z^{3}\right) \mathrm{d} s
$$
其中 $S$ 为 $\displaystyle [-1,1] \times[-1,1] \times[-1,1]$ 的表面．
（3）．计算积分
$$
\int_{-1}^{1}\left|x-x^{2}\right| \mathrm{d} x
$$
（4）．求
$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+2)} x^{n-1}
$$
的和函数．
（1）．
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1} n!}{n^{n}}
$$
（2）．计算积分
$$
\iint_{S}\left(x^{2}+y-z^{3}\right) \mathrm{d} s
$$
其中 $S$ 为 $\displaystyle [-1,1] \times[-1,1] \times[-1,1]$ 的表面．
（3）．计算积分
$$
\int_{-1}^{1}\left|x-x^{2}\right| \mathrm{d} x
$$
（4）．求
$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+2)} x^{n-1}
$$
的和函数．