华东师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
二、求解下列各题（每小题 $\displaystyle \mathbf{9}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分）
（1）．
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1} n!}{n^{n}}
$$
（2）．计算积分
$$
\iint_{S}\left(x^{2}+y-z^{3}\right) \mathrm{d} s
$$
其中 $S$ 为 $\displaystyle [-1,1] \times[-1,1] \times[-1,1]$ 的表面．
（3）．计算积分
$$
\int_{-1}^{1}\left|x-x^{2}\right| \mathrm{d} x
$$
（4）．求
$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+2)} x^{n-1}
$$
的和函数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：计算极限 (1)：应用斯特林公式
使用斯特林公式：
$$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$
代入原式：
$$\frac{2^{n+1} n!}{n^n} \sim \frac{2^{n+1} \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{n^n} = 2^{n+1} \sqrt{2\pi n} \cdot \frac{1}{e^n} = 2 \cdot \left(\frac{2}{e}\right)^n \sqrt{2\pi n}$$
公式：$$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$
提示：注意斯特林公式中的等价无穷小符号，以及底数 $\frac{2}{e} < 1$ 导致极限为0。
步骤 2/8
目标：计算极限 (1)：得出结论
由于 $\frac{2}{e} < 1$，指数部分 $(\frac{2}{e})^n \to 0$，乘以多项式增长项 $\sqrt{2\pi n}$ 仍趋于0。因此极限为0。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1} n!}{n^n} = 0$$
提示：不要忘记常数因子2，但极限结果仍为0。
步骤 3/8
目标：计算曲面积分 (2)：分解立方体表面
立方体 $[-1,1]^3$ 有6个面，分别计算每个面上的积分。
- 面1 ($x=1$)：$\iint (1+y-z^3) dy dz$，积分得4。
- 面2 ($x=-1$)：被积函数相同，积分也得4。
- 面3 ($y=1$)：$\iint (x^2+1-z^3) dx dz$，积分得 $\frac{16}{3}$。
- 面4 ($y=-1$)：$\iint (x^2-1-z^3) dx dz$，积分得 $-\frac{8}{3}$。
- 面5 ($z=1$)：$\iint (x^2+y-1) dx dy$，积分得 $-\frac{8}{3}$。
- 面6 ($z=-1$)：$\iint (x^2+y+1) dx dy$，积分得 $\frac{16}{3}$。
公式：$$\iint_S (x^2+y-z^3) ds = \sum_{faces} \iint_{face} (x^2+y-z^3) dS$$
提示：注意每个面的法向量方向不影响面积元，但被积函数中变量取值不同。
步骤 4/8
目标：计算曲面积分 (2)：求和
将所有面的积分结果相加：
$$4 + 4 + \frac{16}{3} - \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{16}{3} = 8 + \frac{16}{3} = \frac{40}{3}$$
公式：$$\iint_S (x^2+y-z^3) ds = \frac{40}{3}$$
提示：注意正负号不要混淆，特别是 $y=-1$ 和 $z=1$ 的面。
步骤 5/8
目标：计算定积分 (3)：去绝对值
令 $f(x)=x-x^2=x(1-x)$，根为 $x=0$ 和 $x=1$。在 $[-1,1]$ 上分段：
- 当 $x\in[-1,0]$，$f(x)\le 0$，$|f(x)| = -x + x^2$。
- 当 $x\in[0,1]$，$f(x)\ge 0$，$|f(x)| = x - x^2$。
因此积分拆为：
$$\int_{-1}^0 (-x+x^2) dx + \int_0^1 (x-x^2) dx$$
公式：$$|x-x^2| = \begin{cases} -x+x^2, & x\in[-1,0] \\ x-x^2, & x\in[0,1] \end{cases}$$
提示：注意在 $x=0$ 处函数连续，分段积分正确。
步骤 6/8
目标：计算定积分 (3)：分别积分并求和
第一部分：
$$\int_{-1}^0 (-x+x^2) dx = \left[-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^0 = 0 - \left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{5}{6}$$
第二部分：
$$\int_0^1 (x-x^2) dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$
总和：$\frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 1$。
公式：$$\int_{-1}^1 |x-x^2| dx = 1$$
提示：注意原函数代入上下限时符号正确。
步骤 7/8
目标：求和函数 (4)：裂项分解
将通项裂项：
$$\frac{(-1)^{n-1}}{n(n+2)} = \frac{(-1)^{n-1}}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$$
因此原级数：
$$S(x) = \frac12 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) x^{n-1}$$
公式：$$\frac{1}{n(n+2)} = \frac12\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$$
提示：注意裂项后系数 $\frac12$ 不要遗漏。
步骤 8/8
目标：求和函数 (4)：拆分为两个级数并求和
拆分为：
$$S(x) = \frac12\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n-1} - \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n+2} x^{n-1}\right)$$
第一个级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n-1} = \frac{\ln(1+x)}{x}$（当 $x\neq 0$，且 $|x|<1$）。
第二个级数：令 $m=n+2$，则 $n=m-2$，$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n+2} x^{n-1} = \sum_{m=3}^\infty \frac{(-1)^{m-3}}{m} x^{m-3} = \frac{1}{x^2}\sum_{m=3}^\infty \frac{(-1)^{m-1}}{m} x^{m-1}$（调整符号）。进一步化简得：$\frac{1}{x^2}\left(\ln(1+x) - x + \frac{x^2}{2}\right)$。
因此：
$$S(x) = \frac12\left(\frac{\ln(1+x)}{x} - \frac{1}{x^2}\left(\ln(1+x) - x + \frac{x^2}{2}\right)\right) = \frac12\left(\frac{(x-1)\ln(1+x)}{x^2} + \frac{1}{x} - \frac12\right)$$
注意 $x=0$ 时需单独处理，但题目通常考虑 $|x|<1$。
公式：$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n-1} = \frac{\ln(1+x)}{x}$$
提示：注意第二个级数起始项调整，以及 $x=0$ 为可去奇点。
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