华东师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
三、证明下列各题（每小题 13 分，共 78 分）
（1）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内每一点的左右极限都存在，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（2）．设函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, \infty)$ 上连续，且
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0
$$
证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
（3）．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 收敛，且
$$
a_{k} \leqslant a_{n} \quad \forall n<k \leqslant 2 n
$$
证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．
（4）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上三阶可导，且 $\displaystyle f(x), f^{\prime \prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上都有界，证明： $\displaystyle f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界。
（5）．设 $\displaystyle \forall b>0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\alpha$ ，令
$$
F(t)=t \int_{0}^{+\infty} e^{-t x} f(x) \mathrm{d} x
$$
证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} F(t)=\alpha$ ．
（6）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，
$$
f(0) f(1)>0, f^{\prime \prime}(x)>0
$$
证明：（i）．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内有且仅有两个零点，
（ii）．存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明函数在闭区间上每点局部有界，进而整体有界
对任意 $x_0 \in [a,b]$，由左右极限存在可知 $f$ 在 $x_0$ 处局部有界，即存在 $\delta_{x_0}>0$ 和 $M_{x_0}>0$，使得当 $y \in (x_0-\delta_{x_0}, x_0+\delta_{x_0}) \cap [a,b]$ 时，$|f(y)| \le M_{x_0}$。所有这样的开区间构成 $[a,b]$ 的开覆盖，由有限覆盖定理，存在有限个邻域覆盖 $[a,b]$，取这些邻域对应界中的最大值，即得 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。
公式：\forall x_0 \in [a,b], \exists \delta_{x_0}>0, M_{x_0}>0, \forall y \in (x_0-\delta_{x_0}, x_0+\delta_{x_0}) \cap [a,b]: |f(y)| \le M_{x_0}
提示：注意左右极限存在保证了局部有界，但需要有限覆盖定理从局部推广到整体。
步骤 2/7
目标：利用极限条件和一致连续定义证明函数一致连续
由 $\lim_{x\to+\infty}[f(x)-g(x)]=0$，对 $\varepsilon>0$，存在 $X>a$ 使得当 $x\ge X$ 时 $|f(x)-g(x)|<\varepsilon/3$。$g$ 一致连续，存在 $\delta_1>0$ 使得当 $|x-y|<\delta_1$ 时 $|g(x)-g(y)|<\varepsilon/3$。$f$ 在 $[a, X+1]$ 上连续从而一致连续，存在 $\delta_2>0$ 使得在该区间内 $|x-y|<\delta_2$ 时 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon/3$。取 $\delta=\min(\delta_1,\delta_2,1)$，对任意 $x,y\ge a$ 且 $|x-y|<\delta$，分三种情况讨论：两者均在 $[a, X+1]$ 内、两者均 $\ge X$、一个小于 $X$ 一个大于 $X$（此时两者必在 $[X-1, X+1]$ 内），均可证 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。
公式：\lim_{x\to+\infty}[f(x)-g(x)]=0 \Rightarrow \forall \varepsilon>0, \exists X>a, \forall x\ge X: |f(x)-g(x)|<\varepsilon/3
提示：注意分段讨论时需保证 $\delta<1$ 以确保跨越 $X$ 的两点仍落在 $[X-1, X+1]$ 内。
步骤 3/7
目标：利用级数收敛和单调性证明 $n a_n \to 0$
由条件 $a_k \le a_n$ 对 $n
公式：\sum_{k=n+1}^{2n} a_k \ge n a_{2n}, \quad \lim_{n\to\infty}\sum_{k=n+1}^{2n} a_k = 0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty} n a_{2n} = 0
提示：注意正项级数收敛的必要条件是通项趋于0，但这里需要更强的 $n a_n \to 0$，需利用单调性条件。
步骤 4/7
目标：利用Taylor展开和函数有界性证明导数有界
对任意 $x$ 和 $h>0$，由Taylor公式：
$f(x+h) = f(x) + h f'(x) + \frac{h^2}{2} f''(x) + \frac{h^3}{6} f'''(\xi_1)$，
$f(x-h) = f(x) - h f'(x) + \frac{h^2}{2} f''(x) - \frac{h^3}{6} f'''(\xi_2)$。
两式相减得 $f(x+h)-f(x-h) = 2h f'(x) + \frac{h^3}{6}(f'''(\xi_1)+f'''(\xi_2))$，由于 $f$ 有界且 $f'''$ 有界，左边有界，故 $f'(x)$ 有界。
两式相加得 $f(x+h)+f(x-h)-2f(x) = h^2 f''(x) + \frac{h^3}{6}(f'''(\xi_1)-f'''(\xi_2))$，同理可得 $f''(x)$ 有界。
公式：f(x+h)-f(x-h) = 2h f'(x) + \frac{h^3}{6}(f'''(\xi_1)+f'''(\xi_2))
提示：固定一个合适的 $h$（如 $h=1$），利用已知有界性即可推出导数有界。
步骤 5/7
目标：通过变量替换和控制收敛定理求极限
令 $u=tx$，则 $x=u/t$，$dx=du/t$，代入得 $F(t) = t \int_0^\infty e^{-tx} f(x) dx = \int_0^\infty e^{-u} f(u/t) du$。当 $t\to 0^+$ 时，对每个固定的 $u$，$f(u/t) \to \alpha$。由 $\lim_{x\to\infty} f(x)=\alpha$ 知 $f$ 有界，设 $|f(x)|\le M$，则被积函数 $|e^{-u} f(u/t)| \le M e^{-u}$，可积且控制函数与 $t$ 无关。由Lebesgue控制收敛定理，极限与积分可交换：$\lim_{t\to 0^+} F(t) = \int_0^\infty e^{-u} \alpha du = \alpha$。
公式：F(t) = \int_0^\infty e^{-u} f(u/t) du, \quad \lim_{t\to 0^+} F(t) = \int_0^\infty e^{-u} \alpha du = \alpha
提示：注意变量替换后积分限不变，且控制函数 $M e^{-u}$ 在 $[0,\infty)$ 上可积。
步骤 6/7
目标：证明函数恰有两个零点
由 $f''(x)>0$ 知 $f$ 是严格凸函数，凸函数至多有两个零点。由积分中值定理，存在 $c\in(0,1)$ 使得 $f(c)=\int_0^1 f(x)dx=0$，故至少有一个零点。若只有一个零点，则 $f$ 在零点两侧同号，但凸函数若只有一个零点，则函数值在两侧符号相反才能使得积分为零（否则积分不可能为零），矛盾。因此恰有两个零点。
公式：\int_0^1 f(x)dx=0 \Rightarrow \exists c\in(0,1): f(c)=0; \quad f''(x)>0 \Rightarrow f \text{严格凸}
提示：凸函数至多有两个零点，结合积分条件排除只有一个零点的情形。
步骤 7/7
目标：证明存在 $\xi$ 使得 $f'(\xi)=\int_0^\xi f(t)dt$
令 $G(x)=f'(x)-\int_0^x f(t)dt$，则 $G(0)=f'(0)$，$G(1)=f'(1)-\int_0^1 f(t)dt = f'(1)$。由凸性和零点分布，$f$ 在 $[0,1]$ 内恰有两个零点，设为 $x_1
公式：G(x)=f'(x)-\int_0^x f(t)dt, \quad G(0)G(1)<0 \Rightarrow \exists \xi\in(0,1): G(\xi)=0
提示：注意 $\int_0^1 f(t)dt=0$ 简化了 $G(1)$ 的表达式，关键在于证明 $f'(0)$ 与 $f'(1)$ 异号。
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