华东师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
1．如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上至多有有限个不连续点．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解可积的充分必要条件
在黎曼积分理论中，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可积的一个经典充要条件是：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，且其所有不连续点构成的集合的勒贝格测度为零。这意味着不连续点可以非常多，甚至无限多个，只要它们不占据任何“长度”（即测度为0），函数仍然可积。
公式：黎曼可积的充要条件：$f$ 有界且 $\{x \in [a,b] : f \text{在} x \text{处不连续}\}$ 的勒贝格测度为 $0$。
提示：注意：可积性并不要求不连续点只有有限个，而是要求不连续点集是零测集。
步骤 2/5
目标：分析原命题的表述
原命题声称：如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上至多有有限个不连续点。根据第一步中的充要条件，这个论断显然过强，因为零测集可以是无限集（例如可数集）。因此，我们需要构造一个反例来推翻该命题。
提示：要特别注意“至多有限个”与“测度为0”的区别，前者是更强的条件。
步骤 3/5
目标：构造反例函数
考虑定义在区间 $[0,1]$ 上的函数：
$$f(x) = \begin{cases} 1, & x = \frac{1}{n}, \quad n \in \mathbb{N}^+ \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
该函数仅在点集 $\{1, \frac12, \frac13, \frac14, \dots\}$ 处取值为1，其余点取值为0。这个点集是一个可数无限集，且以0为聚点。
公式：$$f(x) = \begin{cases} 1, & x = \frac{1}{n}, \ n \in \mathbb{N}^+ \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
提示：注意：$\frac{1}{n}$ 随着 $n$ 增大趋近于0，因此0也是不连续点（如果定义在0处，需单独处理，但此处0不在集合中，不影响可积性）。
步骤 4/5
目标：验证反例的可积性
1. **有界性**：$|f(x)| \leq 1$，显然有界。
2. **不连续点集**：函数在 $x = \frac{1}{n}$ 处有跳跃（值为1，而邻域内其他点为0），因此这些点都是不连续点。该集合为 $\{1, 1/2, 1/3, \dots\}$，是可数无限集。
3. **测度为零**：可数集的勒贝格测度为0。
根据黎曼可积的充要条件，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积，且积分值为0（因为仅在可数个点上非零）。
公式：$$\int_0^1 f(x) \, dx = 0$$
提示：可数集测度为0是测度论的基本结论，初学者容易误以为无限个点就一定占据长度，实际上可数点集不占长度。
步骤 5/5
目标：得出最终结论
反例函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积，但它有无限多个不连续点（可数无穷多个）。因此，原命题“可积函数至多有有限个不连续点”是错误的。正确的结论是：可积函数的不连续点集可以是无限集，只要其测度为0。
提示：该反例也说明，不能将“可积”与“几乎处处连续”混淆，后者才是正确的描述。
步骤 6/6
目标：补充说明：狄利克雷函数不是反例
有人可能会想到狄利克雷函数：$D(x)=\begin{cases}1, & x\in\mathbb{Q}\\0, & x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{cases}$。该函数处处不连续，但它在任何区间上都不是黎曼可积的，因为它的上积分和下积分不相等（上积分=1，下积分=0）。因此，它不能作为反例。
提示：注意区分黎曼可积与勒贝格可积。狄利克雷函数是勒贝格可积的，但不是黎曼可积的。
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