📝 华东师范大学 2017年数学分析真题

1．如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上至多有有限个不连续点．

2．如果数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收玫。

3．如果函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续，偏导数 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 与 $f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 均存在，则 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微。

4．设函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上一致连续，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上有界．

5．如果 $u_{n}(x)(n=1,2, \cdots)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。

6．如果含参变量积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x$ 在 $[a, b]$ 一致收敛，则在 $[a, b]$ 上处处绝对收敛。

7．求下面积分的值

$$
\iint_{D} \sqrt{y^{2}-x y} \mathrm{~d} \sigma
$$

其中 $D$ 是由 $y=x, y=1, x=0$ 围成的封闭图形．

8．求极限

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n}\right]^{\frac{1}{x}}
$$

9．设函数 $y=y(x), z=z(x)$ 由方程 $z=x f(x+y)$ 和 $F(x, y, z)=0$ 所确定，$f$ 一阶连续可导，$F$具有一阶连续偏导数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ 。

10.

$$
\iint_{\Sigma}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}-z x\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}-x y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被平面 $z=0, z=1$ 所截的部分，方向取下侧．

11．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3^{n}+(-2)^{n}} \cdot \frac{x^{n}}{n}$ 的收敛域。

12．设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续， $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

13．设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，对任意的 $x>0$ ，均有 $\lim _{n \rightarrow \infty} f(x+n)=0$ ，证明：$\{f(x+n)\}$在 $[0,1]$ 上一致收敛于 0 ．

14．设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶连续可导，且 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0, M=\max _{x \in[a, b]}\left\{\left|f^{\prime \prime}(x)\right|\right\}$ ．证明：

$$
\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{24}(b-a)^{3}
$$

15．（1）．证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上处处收敛，但非一致收敛；
（2）．证明：其和函数为 $\displaystyle S(x)=\frac{e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}, \quad x>0$ ．

16．平面区域 $D$ 由光滑封闭曲线 $L$ 围成，$\vec{n}$ 为 $L$ 上任意一点处的外法向向量，$u(x, y) \in C^{2}(D)$ ．
证明：

$$
\iint_{D}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=\oint_{L} u \frac{\partial u}{\partial \vec{n}} \mathrm{~d} s-\iint_{D} u\left(u_{x x}+u_{y y}\right) \mathrm{d} \sigma
$$

其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \vec{n}}$ 表示 $u$ 沿 $\vec{n}$ 的方向导数。

17．设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导， $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x+1)-f(x)]=0$ ．证明：
（1）． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ；
（2）．在 $(0,+\infty)$ 上存在单调递增趋于 $+\infty$ 的数列 $\left\{x_{n}\right\}$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow+\infty} f^{\prime}\left(x_{n}\right)=0$ ．