华东师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
8．求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n}\right]^{\frac{1}{x}}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析极限形式，判断未定式类型
考虑极限 \(\lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{x}+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n} \right)^{\frac{1}{x}}\)。当 \(x \to 0\) 时，每个 \(e^{kx} \to 1\)，因此括号内趋于 \(\frac{n}{n}=1\)，而指数 \(\frac{1}{x} \to \infty\)，故该极限为 \(1^\infty\) 型未定式。
公式：\lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{x}+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n} \right)^{\frac{1}{x}} = 1^\infty
提示：识别 \(1^\infty\) 型是取对数法的基础，注意底数趋近于1但指数趋于无穷大。
步骤 2/6
目标：取对数转化为 \(0/0\) 型极限
设 \(L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{x}+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n} \right)^{\frac{1}{x}}\)，两边取自然对数得：
\[\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \left( \frac{e^{x}+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n} \right).\]
由于 \(x \to 0\) 时分子 \(\ln(\cdots) \to 0\)，分母 \(x \to 0\)，这是 \(\frac{0}{0}\) 型。
公式：\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \left( \frac{\sum_{k=1}^n e^{kx}}{n} \right)
提示：取对数后注意检查是否为 \(0/0\) 或 \(\infty/\infty\) 型，以便后续使用洛必达法则或展开。
步骤 3/6
目标：对分子进行泰勒展开
当 \(x \to 0\) 时，对每个指数项展开：
\[e^{kx} = 1 + kx + \frac{k^2 x^2}{2} + o(x^2).\]
求和得：
\[\sum_{k=1}^n e^{kx} = n + x \sum_{k=1}^n k + \frac{x^2}{2} \sum_{k=1}^n k^2 + o(x^2).\]
利用公式 \(\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\)，\(\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)，代入得：
\[\frac{\sum_{k=1}^n e^{kx}}{n} = 1 + \frac{n+1}{2}x + \frac{(n+1)(2n+1)}{12}x^2 + o(x^2).\]
公式：\frac{\sum_{k=1}^n e^{kx}}{n} = 1 + \frac{n+1}{2}x + \frac{(n+1)(2n+1)}{12}x^2 + o(x^2)
提示：展开到 \(x^2\) 项是因为对数展开后 \(x\) 项会被保留，而 \(x^2\) 项用于检查是否影响极限（此处不影响）。注意 \(o(x^2)\) 的写法。
步骤 4/6
目标：利用对数展开化简
令 \(A = \frac{n+1}{2}\)，\(B = \frac{(n+1)(2n+1)}{12}\)，则括号内为 \(1 + A x + B x^2 + o(x^2)\)。利用 \(\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2)\)，其中 \(u = A x + B x^2 + o(x^2)\)，代入得：
\[\ln\left(1 + A x + B x^2 + o(x^2)\right) = (A x + B x^2) - \frac{(A x)^2}{2} + o(x^2) = A x + \left(B - \frac{A^2}{2}\right)x^2 + o(x^2).\]
公式：\ln\left(1 + A x + B x^2 + o(x^2)\right) = A x + \left(B - \frac{A^2}{2}\right)x^2 + o(x^2)
提示：对数展开时，\(u^2\) 项只取 \((A x)^2\) 即可，因为 \(B x^2\) 与 \(A x\) 的乘积是高阶小量。注意 \(o(x^2)\) 的合并。
步骤 5/6
目标：除以 \(x\) 并求极限
将上一步结果除以 \(x\)：
\[\frac{1}{x} \ln\left(\frac{\sum_{k=1}^n e^{kx}}{n}\right) = A + \left(B - \frac{A^2}{2}\right)x + o(x).\]
当 \(x \to 0\) 时，含有 \(x\) 的项趋于0，因此极限为 \(A\)，即：
\[\ln L = A = \frac{n+1}{2}.\]
公式：\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(\frac{\sum_{k=1}^n e^{kx}}{n}\right) = \frac{n+1}{2}
提示：注意 \(o(x)\) 项在取极限时消失，确保展开的阶数足够。
步骤 6/6
目标：还原指数形式得到最终结果
由 \(\ln L = \frac{n+1}{2}\)，两边取指数得：
\[L = e^{\frac{n+1}{2}}.\]
因此原极限为 \(e^{\frac{n+1}{2}}\)。
公式：\boxed{e^{\frac{n+1}{2}}}
提示：最终结果要写成指数形式，注意 \(n\) 是常数，不要遗漏。
步骤 7/7
目标：还原极限值
由 \(\ln L = \frac{n+1}{2}\) 得 \(L = e^{\frac{n+1}{2}}\)。
公式：L = e^{\frac{n+1}{2}}
提示：最终结果仅依赖于 \(n\)，且随 \(n\) 增大而指数增长。
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