华东师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
15．（1）．证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上处处收敛，但非一致收敛；
（2）．证明：其和函数为 $\displaystyle S(x)=\frac{e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}, \quad x>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明级数在 (0,+∞) 上处处收敛
对于任意固定的 $x>0$，令 $r = e^{-x}$，则 $00$，级数 $\sum_{n=1}^\infty n e^{-n x}$ 收敛，即处处收敛。
公式：$\sum_{n=1}^\infty n r^n = \frac{r}{(1-r)^2}, \quad |r|<1$
提示：注意 $r = e^{-x}$ 的取值范围：当 $x>0$ 时，$0
步骤 2/4
目标：证明级数在 (0,+∞) 上非一致收敛
考虑余项 $R_n(x) = \sum_{k=n+1}^\infty k e^{-k x}$。取 $x = \frac{1}{n}$，则 $R_n\left(\frac{1}{n}\right) \ge (n+1)e^{-(n+1)/n}$。当 $n \to \infty$ 时，$(n+1)/n \to 1$，故 $(n+1)e^{-(n+1)/n} \sim \frac{n+1}{e} \to \infty$。因此对任意固定的 $\varepsilon>0$，无法找到与 $x$ 无关的 $N$ 使得对所有 $x>0$ 和 $n>N$ 有 $R_n(x)<\varepsilon$，故级数非一致收敛。
公式：$R_n\left(\frac{1}{n}\right) \ge (n+1)e^{-(n+1)/n} \sim \frac{n+1}{e} \to \infty$
提示：非一致收敛的常用证法是取 $x$ 依赖于 $n$（如 $x=1/n$），使余项趋于无穷或大于某正数。
步骤 3/4
目标：利用已知幂级数求和函数
由第一问，对 $0
公式：$S(x) = \frac{e^{-x}}{(1 - e^{-x})^2}$
提示：注意 $1 - e^{-x} > 0$ 对 $x>0$ 成立，分母不为零。
步骤 4/4
目标：化简和函数表达式
将分母有理化：$1 - e^{-x} = \frac{e^x - 1}{e^x}$，则 $(1 - e^{-x})^2 = \frac{(e^x - 1)^2}{e^{2x}}$。代入得 $S(x) = e^{-x} \cdot \frac{e^{2x}}{(e^x - 1)^2} = \frac{e^{x}}{(e^x - 1)^2}$。
公式：$S(x) = \frac{e^{x}}{(e^x - 1)^2}, \quad x>0$
提示：化简时注意指数运算：$e^{-x} \cdot e^{2x} = e^{x}$。
步骤 5/5
目标：代回原变量并化简
将 $t = e^{-x}$ 代入得
$$
S(x) = \frac{e^{-x}}{(1 - e^{-x})^2}
$$
化简分母：$1 - e^{-x} = \frac{e^x - 1}{e^x}$，则
$$
(1 - e^{-x})^2 = \frac{(e^x - 1)^2}{e^{2x}}
$$
因此
$$
S(x) = e^{-x} \cdot \frac{e^{2x}}{(e^x - 1)^2} = \frac{e^{x}}{(e^x - 1)^2}
$$
公式：S(x) = \frac{e^{x}}{(e^{x} - 1)^2}
提示：化简时注意指数运算的准确性。
步骤 6/7
目标：建立方程并解出和函数
由前两步得：
$$
-S(x) = \frac{-e^{-x}}{(1 - e^{-x})^2} \quad \Rightarrow \quad S(x) = \frac{e^{-x}}{(1 - e^{-x})^2}.
$$
分子分母同乘 $e^{2x}$ 化简：
$$
S(x) = \frac{e^{x}}{(e^{x} - 1)^2}.
$$
公式：代数化简：$\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2} = \frac{e^{x}}{(e^{x}-1)^2}$。
提示：化简时注意 $1-e^{-x} = (e^{x}-1)/e^{x}$，平方后分子分母同乘 $e^{2x}$。
步骤 7/7
目标：总结最终结果
因此，和函数为 $S(x) = \frac{e^{x}}{(e^{x}-1)^2}$，对 $x>0$ 成立。
提示：注意定义域 $x>0$，当 $x\to 0^+$ 时 $S(x)\to +\infty$，与级数发散一致。
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