华东师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
6．如果含参变量积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x$ 在 $[a, b]$ 一致收敛，则在 $[a, b]$ 上处处绝对收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确一致收敛与绝对收敛的定义
一致收敛：对任意 $\varepsilon > 0$，存在与 $y$ 无关的 $X_0 > a$，使得当 $A > X_0$ 时，对所有 $y \in [a,b]$ 有 $\left| \int_A^{+\infty} f(x,y) \, dx \right| < \varepsilon$。
绝对收敛：对固定的 $y$，有 $\int_a^{+\infty} |f(x,y)| \, dx < +\infty$。
公式：一致收敛：$\forall \varepsilon>0, \exists X_0>a, \forall A>X_0, \forall y\in[a,b]: \left|\int_A^{+\infty} f(x,y)dx\right|<\varepsilon$
提示：注意一致收敛中的 $X_0$ 与 $y$ 无关，而绝对收敛关注的是绝对值积分是否有限。
步骤 2/4
目标：分析一致收敛与绝对收敛的关系
一致收敛只保证余项一致小，但不保证被积函数的绝对值可积。绝对收敛要求 $|f(x,y)|$ 的积分收敛，这比一致收敛条件更强。因此，一致收敛不一定推出绝对收敛。
公式：无
提示：不要混淆一致收敛与绝对收敛，它们是不同层面的概念。
步骤 3/4
目标：构造反例说明命题错误
考虑含参变量积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{x} \, dx$，其中 $y \in [\delta, b]$，$\delta > 0$。
- 对每个固定的 $y>0$，该积分条件收敛（由 Dirichlet 判别法），但非绝对收敛，因为 $\int_1^{+\infty} \frac{|\sin(xy)|}{x} \, dx$ 发散。
- 可以证明该积分在 $[\delta, b]$ 上一致收敛（利用 Dirichlet 判别法，$\frac{1}{x}$ 单调趋于 0，$\int_1^A \sin(xy) dx$ 一致有界）。
公式：$\int_1^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{x} \, dx$ 条件收敛，$\int_1^{+\infty} \frac{|\sin(xy)|}{x} \, dx$ 发散
提示：反例中参数区间应避开 $y=0$，因为 $y=0$ 时积分发散，但题目区间 $[a,b]$ 可选取 $[\delta, b]$ 满足条件。
步骤 4/4
目标：得出结论
由于存在反例：$\int_1^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{x} \, dx$ 在 $[\delta, b]$ 上一致收敛，但对每个 $y$ 仅为条件收敛而非绝对收敛，因此原命题“一致收敛则处处绝对收敛”是错误的。
公式：无
提示：判断命题真假时，反例是最有力的工具。
步骤 5/5
目标：得出结论
该反例表明：一致收敛的含参变量积分不一定处处绝对收敛。因此原命题错误。
公式：反例：$f(x,y)=\frac{\sin x}{x}$，$a=1$，$[a,b]=[1,2]$
提示：结论是命题为假，需牢记一致收敛与绝对收敛无必然联系。
步骤 6/6
目标：得出结论
反例 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{x} \, dx$ 在 $y \in [1,2]$ 上一致收敛，但对每个固定的 $y$ 不是绝对收敛的。因此，题目中的说法“一致收敛推出处处绝对收敛”是错误的。
公式：反例：$\int_1^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{x} \, dx$ 在 $[1,2]$ 上一致收敛但不绝对收敛
提示：一致收敛性保证的是积分与极限交换等分析性质，并不涉及被积函数的绝对值。
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