华东师范大学 2017年数学分析第0题

函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上一致连续，意味着：对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在一个 $\delta > 0$，使得对于任意两点 $x_1, x_2 \in (0,1)$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。这个 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于点的位置，这是与普通连续不同的关键点。

为了证明有界性，我们取 $\varepsilon = 1$。由一致连续的定义，存在一个 $\delta > 0$，使得对于任意 $x, y \in (0,1)$，只要 $|x - y| < \delta$，就有 $|f(x) - f(y)| < 1$。这个 $\delta$ 将用于后续的区间划分。

考虑区间 $(0,1)$，我们可以用长度为 $\delta/2$ 的小区间来覆盖它。由于 $(0,1)$ 的长度为 $1$，所需小区间的个数是有限的。具体地，取正整数 $N$ 满足 $N \cdot (\delta/2) > 1$，则点列 $x_k = k \cdot (\delta/2)$（$k=0,1,\dots,N$）将 $(0,1)$ 分成 $N$ 个长度为 $\delta/2$ 的子区间（最后一个可能略短，但长度仍小于 $\delta/2$）。这样，整个 $(0,1)$ 被有限个（设为 $m$ 个）长度不超过 $\delta/2$ 的小区间覆盖。

在每个小区间上任取一点作为代表点，例如第 $i$ 个小区间取中点 $c_i$。对于该区间内的任意 $x$，由于区间长度不超过 $\delta/2$，我们有 $|x - c_i| < \delta$。根据一致连续性，$|f(x) - f(c_i)| < 1$，因此 $|f(x)| < |f(c_i)| + 1$。

由于小区间只有有限个（$m$ 个），我们可以计算所有代表点函数值的绝对值，并取最大值。令 $M = \max\{ |f(c_1)|, |f(c_2)|, \dots, |f(c_m)| \} + 1$。那么对于任意 $x \in (0,1)$，$x$ 必然属于某个小区间，从而 $|f(x)| < |f(c_i)| + 1 \leq M$。因此 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上有界。

我们通过一致连续性，将整个区间用有限个小区间覆盖，在每个小区间上利用一致连续条件控制函数值的变化，最终得到全局上界。因此，在开区间 $(0,1)$ 上一致连续的函数一定是有界的。这个结论的关键在于一致连续能保证函数在整体区间上变化受控，不会因为靠近端点而无限增长。