华东师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
5．如果 $u_{n}(x)(n=1,2, \cdots)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件
已知每个函数 $u_n(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，因此也在端点 $x=a$ 和 $x=b$ 处连续。同时，函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 上一致收敛。
提示：注意区分开区间和闭区间，一致收敛性在开区间内已知，但端点处尚未确定。
步骤 2/7
目标：回忆一致收敛的 Cauchy 准则
函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在定义域 $D$ 上一致收敛的 Cauchy 准则是：对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > m \geq N$ 时，对所有 $x \in D$，都有 $\left| \sum_{k=m+1}^{n} u_k(x) \right| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n>m\geq N, \forall x\in D: \left| \sum_{k=m+1}^{n} u_k(x) \right| < \varepsilon
提示：Cauchy 准则是判断一致收敛的常用工具，注意这里要求对所有 $x$ 一致成立。
步骤 3/7
目标：利用开区间上的一致收敛性得到 Cauchy 条件
由于 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致收敛，根据 Cauchy 准则，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $n > m \geq N$ 时，对所有 $x \in (a, b)$，有 $\left| \sum_{k=m+1}^{n} u_k(x) \right| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n>m\geq N, \forall x\in(a,b): \left| \sum_{k=m+1}^{n} u_k(x) \right| < \varepsilon
提示：这里得到的 $N$ 只依赖于 $\varepsilon$，与 $x$ 无关，这是关键。
步骤 4/7
目标：考虑端点 $x=a$ 的情况
定义 $f_{n,m}(x) = \sum_{k=m+1}^{n} u_k(x)$。由于每个 $u_k(x)$ 在 $x=a$ 连续，故 $f_{n,m}(x)$ 也在 $x=a$ 连续。取一列 $x_j \to a^+$（$x_j \in (a, b)$），则 $f_{n,m}(x_j) \to f_{n,m}(a)$。由开区间上的不等式，对每个 $x_j$ 有 $|f_{n,m}(x_j)| < \varepsilon$，取极限得 $|f_{n,m}(a)| \leq \varepsilon$。
公式：\lim_{j\to\infty} f_{n,m}(x_j) = f_{n,m}(a), \quad |f_{n,m}(a)| \leq \varepsilon
提示：极限传递时不等式保持非严格方向，即 $<$ 变为 $\leq$，但这对 Cauchy 条件无影响。
步骤 5/7
目标：同理处理端点 $x=b$
对 $x=b$ 做类似处理：取 $x_j \to b^-$（$x_j \in (a, b)$），由 $f_{n,m}(x)$ 在 $x=b$ 的连续性，同样可得 $|f_{n,m}(b)| \leq \varepsilon$。
公式：\lim_{j\to\infty} f_{n,m}(x_j) = f_{n,m}(b), \quad |f_{n,m}(b)| \leq \varepsilon
提示：注意左右极限的方向，但连续性保证了极限值等于函数值。
步骤 6/7
目标：综合得到闭区间上的 Cauchy 条件
由以上推导，对任意 $\varepsilon > 0$，存在相同的 $N$，使得当 $n > m \geq N$ 时，对 $x \in (a, b)$ 有 $|\sum_{k=m+1}^{n} u_k(x)| < \varepsilon$，对 $x = a$ 和 $x = b$ 有 $|\sum_{k=m+1}^{n} u_k(x)| \leq \varepsilon$。因此，对所有 $x \in [a, b]$，Cauchy 条件成立。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n>m\geq N, \forall x\in[a,b]: \left| \sum_{k=m+1}^{n} u_k(x) \right| \leq \varepsilon
提示：端点处的不等式是 $\leq$，但 $\varepsilon$ 可以任意小，不影响一致收敛性。
步骤 7/7
目标：得出结论
根据 Cauchy 一致收敛准则，函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上一致收敛。因此原命题成立。
提示：本题的关键是利用连续性将开区间的一致收敛性延拓到端点，注意极限传递时不等式的处理。
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