华东师范大学 2017年数学分析第0题

已知函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上二阶连续可导，且在中点 $c = \frac{a+b}{2}$ 处函数值为零，即 $f(c)=0$。记 $M = \max_{x \in [a,b]} |f''(x)|$。需要证明积分绝对值不等式：$\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le \frac{M}{24}(b-a)^3$。

设中点 $c = \frac{a+b}{2}$，半区间长度 $h = \frac{b-a}{2}$，则区间为 $[c-h, c+h]$。对任意 $x \in [a,b]$，将 $f(x)$ 在 $x=c$ 处用带拉格朗日余项的泰勒公式展开到一阶：存在介于 $c$ 与 $x$ 之间的 $\xi_x$，使得 $f(x) = f(c) + f'(c)(x-c) + \frac{1}{2} f''(\xi_x)(x-c)^2$。利用 $f(c)=0$ 化简得 $f(x) = f'(c)(x-c) + \frac12 f''(\xi_x)(x-c)^2$。

对 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上积分：$\int_a^b f(x) \, dx = \int_{c-h}^{c+h} f(x) \, dx$。代入泰勒展开式：$\int_{c-h}^{c+h} f(x) \, dx = f'(c) \int_{c-h}^{c+h} (x-c) \, dx + \frac12 \int_{c-h}^{c+h} f''(\xi_x)(x-c)^2 \, dx$。由于 $(x-c)$ 是奇函数，在对称区间 $[-h, h]$ 上的积分为零，因此第一项消失，得到 $\int_a^b f(x) \, dx = \frac12 \int_{c-h}^{c+h} f''(\xi_x)(x-c)^2 \, dx$。

对积分绝对值进行放缩：$\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le \frac12 \int_{c-h}^{c+h} |f''(\xi_x)| (x-c)^2 \, dx \le \frac{M}{2} \int_{c-h}^{c+h} (x-c)^2 \, dx$。令 $t = x-c$，则积分变为 $\frac{M}{2} \int_{-h}^{h} t^2 \, dt$。计算 $\int_{-h}^{h} t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{-h}^{h} = \frac{h^3}{3} - \left(-\frac{h^3}{3}\right) = \frac{2h^3}{3}$。因此 $\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le \frac{M}{2} \cdot \frac{2h^3}{3} = \frac{M h^3}{3}$。

由 $h = \frac{b-a}{2}$，得 $h^3 = \frac{(b-a)^3}{8}$。代入上一步结果：$\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le \frac{M}{3} \cdot \frac{(b-a)^3}{8} = \frac{M}{24}(b-a)^3$。这正是要证明的不等式。

将积分结果代入估计式，得 $$\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \frac{M}{2} \cdot \frac{2h^3}{3} = \frac{M h^3}{3}.$$ 由于 $h = \frac{b-a}{2}$，所以 $h^3 = \frac{(b-a)^3}{8}$，因此 $$\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \frac{M}{3} \cdot \frac{(b-a)^3}{8} = \frac{M}{24}(b-a)^3.$$ 证毕。