华东师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
11．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3^{n}+(-2)^{n}} \cdot \frac{x^{n}}{n}$ 的收敛域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定级数的一般形式与系数
给定级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3^{n}+(-2)^{n}} \cdot \frac{x^{n}}{n}$，将其视为幂级数 $\sum a_n x^n$，其中系数 $a_n = \frac{1}{n(3^n + (-2)^n)}$。
公式：$a_n = \frac{1}{n(3^n + (-2)^n)}$
提示：注意分母中 $(-2)^n$ 的符号会随 n 的奇偶变化，但求收敛半径时主要考虑绝对值。
步骤 2/7
目标：利用根值法求收敛半径
由 Cauchy-Hadamard 公式，收敛半径 $R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$。计算 $\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\frac{1}{n|3^n + (-2)^n|}} = \frac{1}{\sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{|3^n + (-2)^n|}}$。由于 $\sqrt[n]{n} \to 1$，只需估计 $\sqrt[n]{|3^n + (-2)^n|}$。
公式：$R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$
提示：根值法适用于通项含幂次的情况，注意 $\sqrt[n]{n} \to 1$ 是常用极限。
步骤 3/7
目标：估计 $\sqrt[n]{|3^n + (-2)^n|}$ 的极限
当 n 为偶数时，$(-2)^n = 2^n$，则 $|3^n + 2^n| = 3^n + 2^n$，$\sqrt[n]{3^n + 2^n} \to 3$；当 n 为奇数时，$(-2)^n = -2^n$，则 $|3^n - 2^n| = 3^n - 2^n$，由于 $3^n$ 占主导，$\sqrt[n]{3^n - 2^n} \to 3$。因此 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|3^n + (-2)^n|} = 3$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|3^n + (-2)^n|} = 3$
提示：奇偶性不影响极限，因为 $3^n$ 的增长速度远快于 $2^n$。
步骤 4/7
目标：得出收敛半径
由前两步，$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{3}$，故收敛半径 $R = 3$。
公式：$R = 3$
提示：收敛半径只保证 $|x|<3$ 时绝对收敛，端点需单独判断。
步骤 5/7
目标：检查右端点 $x=3$ 的收敛性
代入 $x=3$ 得 $\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n(3^n + (-2)^n)}$。通项 $\frac{3^n}{3^n + (-2)^n} \to 1$，故通项 $\sim \frac{1}{n}$，与调和级数同阶，发散。
公式：$\frac{3^n}{3^n + (-2)^n} \to 1$
提示：调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散是常用结论，比较判别法可严格证明。
步骤 6/7
目标：检查左端点 $x=-3$ 的收敛性
代入 $x=-3$ 得 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n 3^n}{n(3^n + (-2)^n)}$。令 $b_n = \frac{3^n}{n(3^n + (-2)^n)}$，则 $b_n \sim \frac{1}{n}$ 且单调递减趋于 0，由 Leibniz 判别法，该交错级数条件收敛。
公式：$b_n = \frac{3^n}{n(3^n + (-2)^n)}$
提示：Leibniz 判别法要求 $b_n$ 单调递减且趋于 0，这里 $b_n$ 的单调性可通过比较相邻项或导数验证。
步骤 7/7
目标：综合得出收敛域
收敛半径为 3，左端点 $x=-3$ 收敛，右端点 $x=3$ 发散，故收敛域为 $[-3, 3)$。
公式：$\boxed{[-3,3)}$
提示：注意区间端点的开闭取决于收敛性，左闭右开。
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