华东师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
2．如果数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收玫。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题目条件
已知数列 $\{a_n\}$ 单调，且 $\lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=0$。需要判断是否一定收敛。不妨先假设数列单调递增（递减情况同理）。
提示：注意单调性包括单调递增和单调递减，只需考虑一种情况即可，另一种类似。
步骤 2/6
目标：直观分析与反例思路
单调递增数列若不收敛，则必趋向正无穷。问题转化为：是否存在趋向无穷的递增数列，使得相邻项之差趋于0？答案是肯定的，例如增长非常缓慢的数列，如对数函数。
提示：不要仅凭直觉认为差趋于0就收敛，需要严格推理或构造反例。
步骤 3/6
目标：构造反例：对数数列
取 $a_n = \ln n$。显然 $\{a_n\}$ 单调递增，因为 $\ln(n+1) > \ln n$。计算相邻项差：
$$a_{n+1} - a_n = \ln(n+1) - \ln n = \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$$
公式：$a_{n+1} - a_n = \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$
提示：注意对数运算法则：$\ln a - \ln b = \ln(a/b)$。
步骤 4/6
目标：验证差趋于0
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，因此 $\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \to \ln 1 = 0$。所以 $\lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=0$。
公式：$\lim_{n\to\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=0$
提示：利用极限性质：$\ln(1+x) \sim x$ 当 $x\to0$，但直接代入更简单。
步骤 5/6
目标：验证数列发散
由于 $\ln n \to +\infty$ 当 $n \to \infty$，所以数列 $\{a_n\}$ 发散到无穷，不收敛。
公式：$\lim_{n\to\infty}\ln n = +\infty$
提示：对数函数无上界，因此数列无界，不满足收敛的必要条件（有界性）。
步骤 6/6
目标：得出结论
反例 $a_n = \ln n$ 满足单调递增且相邻项差趋于0，但发散。因此原命题错误。正确的结论是：单调有界才收敛，仅有差趋于0不够。
提示：记住收敛的充要条件：单调有界数列必收敛。差趋于0不能替代有界性。
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