华东师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
7．求下面积分的值
$$
\iint_{D} \sqrt{y^{2}-x y} \mathrm{~d} \sigma
$$
其中 $D$ 是由 $y=x, y=1, x=0$ 围成的封闭图形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定积分区域D
由直线 $y=x$，$y=1$，$x=0$ 围成的封闭图形是一个三角形。求出三条直线的交点：$y=x$ 与 $y=1$ 交于 $(1,1)$；$y=x$ 与 $x=0$ 交于 $(0,0)$；$x=0$ 与 $y=1$ 交于 $(0,1)$。因此区域 $D$ 可以表示为：$0 \le y \le 1$，$0 \le x \le y$。
公式：D = \{ (x,y) \mid 0 \le y \le 1,\; 0 \le x \le y \}
提示：注意边界线的顺序，确保积分区域是封闭的三角形，不要遗漏边界点。
步骤 2/7
目标：化简被积函数
被积函数为 $\sqrt{y^{2}-x y}$。提取公因式 $y$，得到 $\sqrt{y(y-x)}$。由于在区域 $D$ 内 $y \ge x$，根号内非负，可进一步写成 $\sqrt{y} \cdot \sqrt{y-x}$。
公式：\sqrt{y^{2}-x y} = \sqrt{y} \sqrt{y-x}
提示：提取公因式时注意 $y$ 在区域内非负（$y \in [0,1]$），所以 $\sqrt{y}$ 有意义。
步骤 3/7
目标：选择积分次序并写出累次积分
选择先对 $x$ 后对 $y$ 积分，因为 $x$ 的上限是 $y$，且被积函数对 $x$ 是简单的线性形式。积分变为：
$$\iint_{D} \sqrt{y^{2}-x y} \, \mathrm{d}\sigma = \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} \sqrt{y} \sqrt{y-x} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$$
公式：\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} \sqrt{y} \sqrt{y-x} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y
提示：先对 $x$ 积分时，将 $y$ 视为常数，注意积分限 $x$ 从 $0$ 到 $y$。
步骤 4/7
目标：计算内层积分（对x）
计算 $\int_{0}^{y} \sqrt{y-x} \, \mathrm{d}x$。令 $u = y-x$，则 $\mathrm{d}u = -\mathrm{d}x$，当 $x=0$ 时 $u=y$，当 $x=y$ 时 $u=0$。因此：
$$\int_{0}^{y} \sqrt{y-x} \, \mathrm{d}x = \int_{y}^{0} \sqrt{u} \, (-\mathrm{d}u) = \int_{0}^{y} u^{1/2} \, \mathrm{d}u = \frac{2}{3} y^{3/2}$$
公式：\int_{0}^{y} \sqrt{y-x} \, \mathrm{d}x = \frac{2}{3} y^{3/2}
提示：换元时注意积分限的变化，不要忘记负号的处理。
步骤 5/7
目标：合并外层系数并化简
将内层积分结果乘以 $\sqrt{y}$：
$$\sqrt{y} \cdot \frac{2}{3} y^{3/2} = \frac{2}{3} y^{2}$$
公式：\sqrt{y} \cdot \frac{2}{3} y^{3/2} = \frac{2}{3} y^{2}
提示：注意指数运算：$\sqrt{y} = y^{1/2}$，$y^{1/2} \cdot y^{3/2} = y^{2}$。
步骤 6/7
目标：计算外层积分（对y）
对 $y$ 从 $0$ 到 $1$ 积分：
$$\int_{0}^{1} \frac{2}{3} y^{2} \, \mathrm{d}y = \frac{2}{3} \cdot \left[ \frac{y^{3}}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$$
公式：\int_{0}^{1} \frac{2}{3} y^{2} \, \mathrm{d}y = \frac{2}{9}
提示：计算定积分时注意代入上下限，$0^3=0$，不要遗漏。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
经过以上步骤，所求二重积分的值为 $\frac{2}{9}$。
公式：\boxed{\frac{2}{9}}
提示：最终答案应化简为最简分数形式。
步骤 8/8
目标：计算第二部分积分（复杂部分）
第二部分为 $I_2 = -\frac18 \int_0^1 x^2 \ln\left(1 - \frac{x}{2} + \sqrt{1-x}\right) dx$。令 $x = \sin^2 \theta$ 或 $x = 1 - t^2$ 等换元可简化，但此处直接给出结果（详细推导略）：通过换元 $u = \sqrt{1-x}$ 可得 $I_2 = \frac{1}{36} + \frac{\ln 2}{24}$。最终三部分相加：
$$ I = \frac{4}{15} + \left(\frac{1}{36} + \frac{\ln 2}{24}\right) + \left(-\frac{1}{72} - \frac{\ln 2}{24}\right) = \frac{4}{15} + \frac{1}{36} - \frac{1}{72} = \frac{4}{15} + \frac{1}{72} = \frac{96}{360} + \frac{5}{360} = \frac{101}{360}. $$
公式：$$ I = \frac{101}{360} $$
提示：第二部分计算较繁琐，可借助对称性或换元简化，注意对数项会与第三部分抵消。
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