华东师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
12．设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续， $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和目标
已知函数 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致连续，且反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。需要证明 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。
提示：注意一致连续的定义：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - y| < \delta$ 时，$|f(x) - f(y)| < \varepsilon$。
步骤 2/6
目标：反证法假设
假设结论不成立，即存在 $\varepsilon_0 > 0$ 和趋于无穷的点列 $\{x_n\} \subset [a, +\infty)$，使得 $|f(x_n)| \ge \varepsilon_0$ 对所有 $n$ 成立。
公式：$\exists \varepsilon_0 > 0, \exists \{x_n\} \to +\infty, \text{使得 } |f(x_n)| \ge \varepsilon_0$
提示：反证法是处理极限不存在的常用方法。
步骤 3/6
目标：利用一致连续性构造小区间
由一致连续性，对 $\varepsilon_0 > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - y| < \delta$ 时，$|f(x) - f(y)| < \frac{\varepsilon_0}{2}$。对每个 $x_n$，考虑区间 $[x_n - \delta, x_n + \delta]$（当 $n$ 足够大时，该区间包含于 $[a, +\infty)$）。对任意 $x \in [x_n - \delta, x_n + \delta]$，有 $|f(x)| \ge |f(x_n)| - |f(x) - f(x_n)| \ge \varepsilon_0 - \frac{\varepsilon_0}{2} = \frac{\varepsilon_0}{2}$。
公式：$|f(x)| \ge \frac{\varepsilon_0}{2}, \quad \forall x \in [x_n - \delta, x_n + \delta]$
提示：一致连续性保证了函数在点 $x_n$ 附近不会剧烈变化，从而保持较大的绝对值。
步骤 4/6
目标：选取不重叠的子区间
由于 $x_n \to +\infty$，我们可以选取子列（仍记为 $\{x_n\}$）使得相邻两点间距大于 $2\delta$，从而区间 $[x_n - \delta, x_n + \delta]$ 互不相交。这些区间上的函数值保持同号（因为 $|f(x)| \ge \frac{\varepsilon_0}{2}$，符号与 $f(x_n)$ 相同）。
公式：$x_{n+1} - x_n > 2\delta$
提示：选取子列时需保证区间不重叠，以便后续积分求和。
步骤 5/6
目标：导出积分发散矛盾
在每个区间 $[x_n - \delta, x_n + \delta]$ 上，$f(x)$ 保持同号且绝对值不小于 $\frac{\varepsilon_0}{2}$，因此该区间上的积分绝对值满足 $\left| \int_{x_n - \delta}^{x_n + \delta} f(x) \, dx \right| \ge \frac{\varepsilon_0}{2} \cdot 2\delta = \varepsilon_0 \delta > 0$。由于这些区间互不相交且趋于无穷，无穷多个这样的正贡献（或负贡献）相加会导致 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 发散（要么趋于 $+\infty$，要么趋于 $-\infty$），这与已知积分收敛矛盾。
公式：$\left| \int_{x_n - \delta}^{x_n + \delta} f(x) \, dx \right| \ge \varepsilon_0 \delta > 0$
提示：注意这里不需要考虑绝对值积分，因为函数在区间上同号，原积分直接发散。
步骤 6/6
目标：结论
反证假设不成立，因此 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
提示：该结论是分析学中“一致连续+积分收敛蕴含极限为零”的经典结果。
步骤 7/7
目标：得出结论
由于假设导致矛盾，故原假设不成立，因此必有 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。证毕。
公式：$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
提示：反证法证明的关键在于利用一致连续性将点上的正下界推广到区间上的正下界，再结合积分收敛性导出矛盾。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。