华东师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
13．设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，对任意的 $x>0$ ，均有 $\lim _{n \rightarrow \infty} f(x+n)=0$ ，证明：$\{f(x+n)\}$在 $[0,1]$ 上一致收敛于 0 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确要证明的目标
我们要证明：对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在一个正整数 $N$，使得对所有 $x \in [0,1]$ 和所有 $n \geq N$，都有 $|f(x+n)| < \varepsilon$。这里 $N$ 的选取不能依赖于 $x$，只能依赖于 $\varepsilon$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall x \in [0,1], \forall n \geq N: |f(x+n)| < \varepsilon$
提示：注意区分逐点收敛与一致收敛：逐点收敛的 $N$ 可以依赖于 $x$，而一致收敛的 $N$ 必须与 $x$ 无关。
步骤 2/6
目标：利用一致连续性得到统一的 $\delta$
因为 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，所以对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|t_1 - t_2| < \delta$ 时，有 $|f(t_1) - f(t_2)| < \varepsilon/2$。这个 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，与 $t_1, t_2$ 的具体位置无关。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall t_1, t_2 \in [0,+\infty), |t_1 - t_2| < \delta \Rightarrow |f(t_1) - f(t_2)| < \varepsilon/2$
提示：一致连续性的关键是 $\delta$ 不依赖于点的位置，这是后续将区间分成有限段的基础。
步骤 3/6
目标：将区间 $[0,1]$ 分成有限个小区间
取上面得到的 $\delta$，将区间 $[0,1]$ 分成若干长度为小于 $\delta$ 的小区间。因为 $[0,1]$ 是闭区间且长度有限，我们可以取有限个分点：$0 = x_0 < x_1 < \cdots < x_k = 1$，使得每个小区间长度 $x_{i+1} - x_i < \delta$。
公式：$0 = x_0 < x_1 < \cdots < x_k = 1$，且 $\max_{0 \leq i \leq k-1} (x_{i+1} - x_i) < \delta$
提示：分点个数 $k$ 是有限的，这保证了后续取最大值时 $N$ 是有限的。
步骤 4/6
目标：利用逐点收敛条件得到每个分点的 $N_i$
对于每个分点 $x_i$，由已知条件 $\lim_{n \to \infty} f(x_i + n) = 0$，存在 $N_i$，使得当 $n \geq N_i$ 时，$|f(x_i + n)| < \varepsilon/2$。取 $N = \max\{N_0, N_1, \ldots, N_k\}$，则对所有分点，当 $n \geq N$ 时都有 $|f(x_i + n)| < \varepsilon/2$。
公式：$\forall i, \exists N_i, \forall n \geq N_i: |f(x_i + n)| < \varepsilon/2$；令 $N = \max_i N_i$
提示：取最大值是为了让 $N$ 同时适用于所有分点，这是从逐点收敛过渡到一致收敛的关键步骤。
步骤 5/6
目标：将分点处的结论推广到整个区间上的任意点
现在任取 $x \in [0,1]$，它必然落在某个小区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 中，于是 $|x - x_i| < \delta$。那么对于 $n \geq N$，我们有：
1. 由一致连续性，$|f(x+n) - f(x_i+n)| < \varepsilon/2$（因为 $(x+n)$ 与 $(x_i+n)$ 的距离就是 $|x - x_i| < \delta$）。
2. 由分点处的结论，$|f(x_i+n)| < \varepsilon/2$。
由三角不等式：$|f(x+n)| \leq |f(x+n) - f(x_i+n)| + |f(x_i+n)| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$。
公式：$|f(x+n)| \leq |f(x+n) - f(x_i+n)| + |f(x_i+n)| < \varepsilon$
提示：注意三角不等式的使用，以及一致连续性中两个自变量同时平移 $n$ 后距离不变。
步骤 6/6
目标：得出结论
这个 $\varepsilon$ 是任意给定的，$N$ 只依赖于 $\varepsilon$（通过 $\delta$ 和分点选取），而不依赖于 $x$，因此序列 $\{f(x+n)\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $0$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall x \in [0,1], \forall n \geq N: |f(x+n)| < \varepsilon$
提示：证明完成，注意总结一致收敛的定义与证明思路。
步骤 7/7
目标：总结一致收敛性
因此，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$（与 $x$ 无关），使得当 $n\ge N$ 时，对一切 $x\in[0,1]$ 有 $|f(x+n)|<2\varepsilon$。即 $\{f(x+n)\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 0。
公式：一致收敛定义：$\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n\ge N,\forall x\in[0,1],|f(x+n)|<\varepsilon$
提示：注意这里用 $2\varepsilon$ 代替 $\varepsilon$ 不影响结论，因为 $\varepsilon$ 任意。
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