华东师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
16．平面区域 $D$ 由光滑封闭曲线 $L$ 围成，$\vec{n}$ 为 $L$ 上任意一点处的外法向向量，$u(x, y) \in C^{2}(D)$ ．
证明：
$$
\iint_{D}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=\oint_{L} u \frac{\partial u}{\partial \vec{n}} \mathrm{~d} s-\iint_{D} u\left(u_{x x}+u_{y y}\right) \mathrm{d} \sigma
$$
其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \vec{n}}$ 表示 $u$ 沿 $\vec{n}$ 的方向导数。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确要证明的等式
我们需要证明：
\[
\iint_{D} (u_x^2 + u_y^2) \, d\sigma = \oint_{L} u \frac{\partial u}{\partial \vec{n}} \, ds - \iint_{D} u (u_{xx} + u_{yy}) \, d\sigma
\]
其中 \(\frac{\partial u}{\partial \vec{n}} = \nabla u \cdot \vec{n}\)，\(\vec{n}\) 是边界 \(L\) 上的外法向向量。
公式：\frac{\partial u}{\partial \vec{n}} = \nabla u \cdot \vec{n}
提示：注意方向导数的定义，外法向是垂直于边界指向外部的单位向量。
步骤 2/5
目标：构造向量场并计算其散度
考虑向量场 \(\mathbf{F} = u \nabla u = (u u_x, \, u u_y)\)。计算其散度：
\[
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(u u_x) + \frac{\partial}{\partial y}(u u_y)
\]
利用乘积法则：
\[
= (u_x u_x + u u_{xx}) + (u_y u_y + u u_{yy}) = (u_x^2 + u_y^2) + u (u_{xx} + u_{yy})
\]
公式：\nabla \cdot (u \nabla u) = u_x^2 + u_y^2 + u (u_{xx} + u_{yy})
提示：注意乘积法则的正确应用，不要遗漏交叉项。
步骤 3/5
目标：应用散度定理（二维高斯公式）
散度定理（二维形式）指出：对于光滑向量场 \(\mathbf{F}\)，有
\[
\iint_{D} \nabla \cdot \mathbf{F} \, d\sigma = \oint_{L} \mathbf{F} \cdot \vec{n} \, ds
\]
代入 \(\mathbf{F} = u \nabla u\)，左边为：
\[
\iint_{D} \left[ (u_x^2+u_y^2) + u(u_{xx}+u_{yy}) \right] d\sigma
\]
右边为：
\[
\oint_{L} (u \nabla u) \cdot \vec{n} \, ds = \oint_{L} u (\nabla u \cdot \vec{n}) \, ds = \oint_{L} u \frac{\partial u}{\partial \vec{n}} \, ds
\]
公式：\iint_{D} \nabla \cdot \mathbf{F} \, d\sigma = \oint_{L} \mathbf{F} \cdot \vec{n} \, ds
提示：散度定理是联系面积分和线积分的关键，注意外法向的方向。
步骤 4/5
目标：移项得到最终等式
由散度定理得到：
\[
\iint_{D} (u_x^2+u_y^2) d\sigma + \iint_{D} u(u_{xx}+u_{yy}) d\sigma = \oint_{L} u \frac{\partial u}{\partial \vec{n}} ds
\]
将第二项移到等式右边：
\[
\iint_{D} (u_x^2+u_y^2) d\sigma = \oint_{L} u \frac{\partial u}{\partial \vec{n}} ds - \iint_{D} u(u_{xx}+u_{yy}) d\sigma
\]
这正是要证明的等式。
公式：\iint_{D} (u_x^2+u_y^2) d\sigma = \oint_{L} u \frac{\partial u}{\partial \vec{n}} ds - \iint_{D} u(u_{xx}+u_{yy}) d\sigma
提示：移项时注意符号，不要遗漏负号。
步骤 5/5
目标：总结证明过程
通过构造向量场 \(u \nabla u\)，利用散度定理将面积分转化为边界线积分，再经过代数变形，即得所需恒等式。该恒等式是格林第一公式的一个特例。
公式：\boxed{\iint_{D}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=\oint_{L} u \frac{\partial u}{\partial \vec{n}} \mathrm{~d} s-\iint_{D} u\left(u_{x x}+u_{y y}\right) \mathrm{d} \sigma}
提示：验证时注意函数 \(u\) 具有二阶连续偏导数的条件（\(C^2(D)\)），确保散度定理适用。
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