华东师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
3．如果函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续，偏导数 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 与 $f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 均存在，则 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确命题并判断正误
题目断言：若函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续，且两个一阶偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ 与 $f_y(x_0,y_0)$ 均存在，则 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微。我们需要判断该命题是否正确。从多元函数微分学可知，连续和偏导存在是可微的必要条件，但不是充分条件，因此该命题很可能错误。
提示：注意区分“偏导存在”与“可微”的关系：偏导存在且连续可推出可微，但仅偏导存在不能保证可微。
步骤 2/7
目标：回顾可微的定义
函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，是指存在常数 $A$ 和 $B$（实际上 $A=f_x(x_0,y_0), B=f_y(x_0,y_0)$），使得增量满足：
$$f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right)$$
其中余项相对于距离 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ 是高阶无穷小。
公式：$$f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho)$$
提示：可微的本质是函数在一点附近可以用线性函数很好地逼近，余项比距离更快趋于0。
步骤 3/7
目标：构造反例函数
考虑函数：
$$f(x,y)=\begin{cases}
\dfrac{x^2 y}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\
0, & (x,y)=(0,0)
\end{cases}$$
我们将在原点 $(0,0)$ 处检验其连续性、偏导存在性以及可微性。
公式：$$f(x,y)=\frac{x^2 y}{x^2+y^2}\quad((x,y)\neq(0,0)),\quad f(0,0)=0$$
提示：选择反例时，要确保函数在讨论点连续且偏导存在，但不可微。
步骤 4/7
目标：验证函数在原点的连续性
当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，有不等式：
$$\left|\frac{x^2 y}{x^2+y^2}\right|\leq \frac{x^2|y|}{x^2}=|y|\to 0$$
因此 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)$，故函数在原点连续。
公式：$$\left|\frac{x^2 y}{x^2+y^2}\right|\leq |y|$$
提示：利用放缩法证明极限为0，注意分母不为0时不等式成立。
步骤 5/7
目标：计算偏导数在原点的值
由定义计算偏导数：
$$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0$$
$$f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\lim_{k\to 0}\frac{0-0}{k}=0$$
因此两个一阶偏导数都存在且为0。
公式：$$f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0$$
提示：偏导存在只需沿坐标轴方向极限存在，此处沿坐标轴函数值恒为0。
步骤 6/7
目标：检验可微性——构造反例路径
假设函数在原点可微，则应有：
$$f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)=0\cdot\Delta x+0\cdot\Delta y+o(\rho)$$
即
$$\frac{(\Delta x)^2\Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=o(\rho)$$
取特殊路径 $\Delta x=t,\Delta y=t$，则 $\rho=\sqrt{2}|t|$，左边为：
$$\frac{t^3}{2t^2}=\frac{t}{2}$$
而右边要求是 $o(|t|)$，但 $\frac{t}{2}$ 与 $|t|$ 同阶，不是高阶无穷小，矛盾。
公式：沿 $\Delta x=\Delta y=t$ 得 $$\frac{t}{2}=o(|t|)$$ 不成立
提示：选择路径时，通常取 $\Delta x$ 与 $\Delta y$ 同阶，使余项不满足高阶无穷小条件。
步骤 7/7
目标：得出结论
由于存在反例 $f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2 y}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}$ 在原点连续、偏导存在但不可微，因此原命题错误。
提示：记住：连续+偏导存在 ≠ 可微，还需要偏导数连续或更强的条件。
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