华东师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
17．设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导， $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x+1)-f(x)]=0$ ．证明：
（1）． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ；
（2）．在 $(0,+\infty)$ 上存在单调递增趋于 $+\infty$ 的数列 $\left\{x_{n}\right\}$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow+\infty} f^{\prime}\left(x_{n}\right)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用条件对整数点进行估计
由已知条件 $\lim_{x\to+\infty}[f(x+1)-f(x)]=0$，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$，当 $x>M$ 时，有 $|f(x+1)-f(x)|<\varepsilon$。特别地，对任意整数 $k>M$，有 $|f(k+1)-f(k)|<\varepsilon$。
公式：|f(k+1)-f(k)|<\varepsilon, \forall k>M
提示：注意条件中的极限是针对所有实数 $x$ 的，因此对整数点也成立。
步骤 2/6
目标：估计整数点上的函数值增长
对任意整数 $n>M$，利用累加不等式：$|f(n)-f(M)| \le \sum_{j=M}^{n-1}|f(j+1)-f(j)| < (n-M)\varepsilon$。因此 $|f(n)| \le |f(M)| + (n-M)\varepsilon$。
公式：|f(n)| \le |f(M)| + (n-M)\varepsilon
提示：这里使用了三角不等式和条件中的上界，注意累加项数为 $n-M$。
步骤 3/6
目标：证明整数点上的结论
由 $|f(n)| \le |f(M)| + (n-M)\varepsilon$，两边除以 $n$ 得 $\frac{|f(n)|}{n} \le \frac{|f(M)|}{n} + \varepsilon - \frac{M\varepsilon}{n}$。令 $n\to\infty$，右边趋于 $\varepsilon$，故 $\limsup_{n\to\infty}\frac{|f(n)|}{n}\le \varepsilon$。由 $\varepsilon$ 的任意性得 $\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n}=0$。
公式：\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n}=0
提示：注意这里只证明了整数点上的极限，还需要推广到任意实数。
步骤 4/6
目标：将结论推广到任意实数
对任意 $x>0$，令 $n=\lfloor x\rfloor$，则 $n\le x
公式：\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=0
提示：注意 $x$ 与 $n$ 的关系，以及区间长度小于1时差值的估计。
步骤 5/6
目标：构造数列并利用中值定理
对每个正整数 $n$，考虑区间 $[n, n+1]$。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_n \in (n, n+1)$，使得 $f'(\xi_n)=f(n+1)-f(n)$。由条件 $\lim_{n\to\infty}[f(n+1)-f(n)]=0$，得 $\lim_{n\to\infty}f'(\xi_n)=0$。
公式：f'(\xi_n)=f(n+1)-f(n), \quad \xi_n\in(n,n+1)
提示：中值定理要求函数在闭区间上连续、开区间内可导，这里由可导性保证。
步骤 6/6
目标：验证数列的单调性和极限
由于 $\xi_n \in (n, n+1)$，$\xi_{n+1} \in (n+1, n+2)$，显然 $\xi_n < \xi_{n+1}$，且 $\xi_n > n \to +\infty$，故 $\{\xi_n\}$ 单调递增趋于 $+\infty$。取 $x_n = \xi_n$，即得所需数列。
公式：x_n = \xi_n, \quad \lim_{n\to\infty}f'(x_n)=0
提示：注意严格单调递增由区间不重叠保证。
步骤 7/8
目标：验证数列单调递增且趋于无穷
由于 $\xi_n \in (n, n+1)$，而 $\xi_{n+1} \in (n+1, n+2)$，所以 $\xi_n < n+1 < \xi_{n+1}$，因此 $\{\xi_n\}$ 严格单调递增，且 $\xi_n > n \to +\infty$。
提示：注意 $\xi_n$ 不一定唯一，但可取任意一个。
步骤 8/8
目标：得到 $f'(x_n) \to 0$
取 $x_n = \xi_n$，则 $\lim_{n \to +\infty} f'(x_n) = \lim_{n \to +\infty} [f(n+1)-f(n)] = 0$。
提示：这里用到了条件 $\lim_{x \to +\infty} [f(x+1)-f(x)] = 0$ 的特殊情形 $x=n$。
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