华东师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
9．设函数 $y=y(x), z=z(x)$ 由方程 $z=x f(x+y)$ 和 $F(x, y, z)=0$ 所确定，$f$ 一阶连续可导，$F$具有一阶连续偏导数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：对第一个方程 z = x f(x+y) 两边关于 x 求导
已知 $z = x f(x+y)$，其中 $y$ 也是 $x$ 的函数。两边对 $x$ 求导，使用乘积法则和链式法则：
\[
\frac{dz}{dx} = f(x+y) + x \cdot f'(x+y) \cdot \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)
\]
这里 $f'$ 表示 $f$ 对其自变量 $x+y$ 的导数。
公式：\frac{dz}{dx} = f(x+y) + x f'(x+y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)
提示：注意 $y$ 是 $x$ 的隐函数，求导时不要遗漏 $\frac{dy}{dx}$ 项。
步骤 2/6
目标：对第二个隐函数方程 F(x, y, z)=0 两边关于 x 求导
方程 $F(x, y, z)=0$ 两边对 $x$ 求导，其中 $y$ 和 $z$ 都是 $x$ 的函数，由链式法则得：
\[
F_x + F_y \frac{dy}{dx} + F_z \frac{dz}{dx} = 0
\]
其中 $F_x, F_y, F_z$ 分别表示 $F$ 对第一、二、三个变量的偏导数。
公式：F_x + F_y \frac{dy}{dx} + F_z \frac{dz}{dx} = 0
提示：偏导数 $F_x, F_y, F_z$ 是在点 $(x, y, z)$ 处取值，不要与全导数混淆。
步骤 3/6
目标：从第二个方程中解出 dy/dx
由 $F_x + F_y \frac{dy}{dx} + F_z \frac{dz}{dx} = 0$，移项并假设 $F_y \neq 0$，得：
\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x + F_z \frac{dz}{dx}}{F_y}
\]
公式：\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x + F_z \frac{dz}{dx}}{F_y}
提示：分母 $F_y$ 不能为零，这是隐函数存在定理的条件之一。
步骤 4/6
目标：将 dy/dx 代入第一个求导结果中
将 $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x + F_z \frac{dz}{dx}}{F_y}$ 代入第一步的式子：
\[
\frac{dz}{dx} = f + x f' \left(1 - \frac{F_x + F_z \frac{dz}{dx}}{F_y}\right)
\]
其中 $f$ 和 $f'$ 的自变量均为 $x+y$。
公式：\frac{dz}{dx} = f + x f' \left(1 - \frac{F_x + F_z \frac{dz}{dx}}{F_y}\right)
提示：代入时要小心符号，括号内是 $1 - \frac{F_x + F_z \frac{dz}{dx}}{F_y}$。
步骤 5/6
目标：整理方程，将含有 dz/dx 的项移到一边
展开并移项：
\[
\frac{dz}{dx} = f + x f' - \frac{x f' F_x}{F_y} - \frac{x f' F_z}{F_y} \cdot \frac{dz}{dx}
\]
将含有 $\frac{dz}{dx}$ 的项移到左边：
\[
\frac{dz}{dx} + \frac{x f' F_z}{F_y} \cdot \frac{dz}{dx} = f + x f' - \frac{x f' F_x}{F_y}
\]
左边提取公因子：
\[
\frac{dz}{dx} \left(1 + \frac{x f' F_z}{F_y}\right) = f + x f' - \frac{x f' F_x}{F_y}
\]
公式：\frac{dz}{dx} \left(1 + \frac{x f' F_z}{F_y}\right) = f + x f' - \frac{x f' F_x}{F_y}
提示：注意 $f'$ 是 $f$ 的导数，不要与 $F$ 的偏导数混淆。
步骤 6/6
目标：解出 dz/dx 并化简
两边同时除以 $1 + \frac{x f' F_z}{F_y}$，得：
\[
\frac{dz}{dx} = \frac{f + x f' - \frac{x f' F_x}{F_y}}{1 + \frac{x f' F_z}{F_y}}
\]
为化简，分子分母同乘以 $F_y$：
\[
\frac{dz}{dx} = \frac{F_y (f + x f') - x f' F_x}{F_y + x f' F_z}
\]
其中 $f$ 和 $f'$ 的自变量均为 $x+y$，$F$ 及其偏导的自变量为 $(x, y, z)$。
公式：\boxed{\frac{dz}{dx} = \frac{F_y (f + x f') - x f' F_x}{F_y + x f' F_z}}
提示：最终结果中分母 $F_y + x f' F_z$ 不能为零，这是隐函数可解的条件。
步骤 7/7
目标：化简最终表达式
分子：
\[
\frac{F_y}{x f'}(f + x f') - F_x = \frac{F_y f}{x f'} + F_y - F_x.
\]
分母：
\[
\frac{F_y}{x f'} + F_z.
\]
分子分母同乘以 $x f'$ 得：
\[
\frac{dz}{dx} = \frac{F_y f + x f'(F_y - F_x)}{F_y + x f' F_z}.
\]
提示：化简时注意 $F_y$ 和 $F_x$ 是偏导数，不要混淆。最终结果中 $f$ 和 $f'$ 的自变量仍是 $x+y$。
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