华东师范大学 2017年数学分析第0题

曲面方程为 \(z = 1 - \sqrt{x^2 + y^2}\)，这是一个倒置的圆锥面，顶点在 \((0,0,1)\)，在 \(z=0\) 处截面是半径为 1 的圆。被平面 \(z=0\) 和 \(z=1\) 所截的部分是锥面侧面（不含顶圆和底圆），方向取下侧，即法向量指向下方（与 z 轴正方向成钝角）。

高斯公式适用于封闭曲面外侧。由于曲面 \(\Sigma\) 不封闭，需要补上顶部平面 \(z=1\) 和底部平面 \(z=0\) 上的圆盘构成封闭区域。记 \(\Sigma_1\) 为锥面（下侧），\(\Sigma_2\) 为顶部平面 \(z=1\) 上的圆盘（但顶点处面积为零，可忽略），\(\Sigma_3\) 为底部平面 \(z=0\) 上的圆盘 \(x^2 + y^2 \le 1\)。封闭曲面取外侧方向。

设向量场 \(\mathbf{F} = (P, Q, R)\)，其中 \(P = x^2 - yz\)，\(Q = y^2 - zx\)，\(R = z^2 - xy\)。计算散度：\(\frac{\partial P}{\partial x} = 2x\)，\(\frac{\partial Q}{\partial y} = 2y\)，\(\frac{\partial R}{\partial z} = 2z\)，因此 \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z)\)。

封闭区域 \(\Omega\) 是锥体：\(0 \le z \le 1\)，且对于每个 \(z\)，半径 \(r = 1 - z\)，即 \(x^2 + y^2 \le (1 - z)^2\)。用柱坐标计算三重积分：\(\iiint_\Omega 2(x + y + z) \, dV\)。由于区域关于 x 和 y 对称，\(x\) 和 \(y\) 的积分贡献为 0，只剩下 \(\iiint_\Omega 2z \, dV\)。计算得：\(2 \int_0^1 z \cdot \pi (1 - z)^2 \, dz = 2\pi \int_0^1 (z - 2z^2 + z^3) \, dz = 2\pi \left[ \frac{z^2}{2} - \frac{2z^3}{3} + \frac{z^4}{4} \right]_0^1 = 2\pi \cdot \frac{1}{12} = \frac{\pi}{6}\)。

顶部平面 \(z=1\) 处锥面缩为一点，面积为零，积分贡献为 0。底部平面 \(z=0\) 上的圆盘 \(x^2 + y^2 \le 1\)，方向取下侧（与封闭曲面外侧一致）。在 \(z=0\) 处，\(dz=0\)，且法向量向下，所以 \(dx\,dy\) 前取负号。被积函数第三项为 \(z^2 - xy = -xy\)，因此 \(\iint_{\Sigma_3, \text{下侧}} (z^2 - xy) \, dx\,dy = \iint_{x^2 + y^2 \le 1} (-xy) \, (-dx\,dy) = \iint_D xy \, dx\,dy\)。由对称性，该积分为 0。另外两项 \(dy\,dz\) 和 \(dz\,dx\) 在 \(z=0\) 平面上也为 0。因此补面总贡献为 0。

由高斯公式，封闭曲面外侧的通量为 \(\frac{\pi}{6}\)，而补面贡献为 0，且锥面 \(\Sigma_1\) 的下侧方向与封闭曲面外侧方向一致（法向量斜向下，z 分量为负），因此原曲面积分等于封闭曲面积分值，即 \(\frac{\pi}{6}\)。