华东师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
2．若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调且存在原函数，则 $f(x)$ 在 $I$ 上连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和待证结论
已知函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调（单调递增或单调递减），且存在原函数 $F(x)$，即 $F'(x)=f(x)$ 对一切 $x \in I$ 成立。需要证明 $f(x)$ 在 $I$ 上连续。
公式：F'(x) = f(x), \quad x \in I
提示：注意原函数存在意味着 $f$ 是某个可导函数的导数，但 $f$ 本身不一定连续。
步骤 2/5
目标：回忆单调函数的间断点类型
单调函数在区间上只有第一类间断点（跳跃间断点），不可能有第二类间断点。若 $f$ 在 $x_0 \in I$ 不连续，则必为跳跃间断点，即左极限 $f(x_0^-)$ 和右极限 $f(x_0^+)$ 存在但不相等。不妨设 $f$ 单调递增，则 $f(x_0^-) < f(x_0^+)$。
公式：\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A, \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = B, \quad A < B
提示：单调递减情形类似，只需将不等号反向。
步骤 3/5
目标：回忆导数的介值性质（达布定理）
达布定理：若 $F$ 在区间 $I$ 上可导，则其导函数 $f = F'$ 具有介值性，即对任意 $a < b \in I$，若 $f(a) \neq f(b)$，则 $f$ 可取到 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的所有值。
公式：\forall \, c \text{ 介于 } f(a) \text{ 与 } f(b) \text{ 之间}, \exists \, \xi \in (a,b) \text{ 使得 } f(\xi) = c
提示：导函数不一定连续，但一定有介值性，这是关键。
步骤 4/5
目标：用反证法导出矛盾
假设 $f$ 在 $x_0$ 处不连续，则存在跳跃间断点，设 $A = f(x_0^-)$，$B = f(x_0^+)$ 且 $A < B$。取 $c$ 满足 $A < c < B$。由于 $f$ 在 $x_0$ 左侧恒小于等于 $A$（单调递增），在 $x_0$ 右侧恒大于等于 $B$，故 $f$ 在 $x_0$ 附近取不到值 $c$。但由达布定理，$f$ 作为 $F$ 的导数，在 $x_0$ 左右任意两点之间应能取到 $c$，矛盾。因此假设不成立，$f$ 在 $x_0$ 处连续。
公式：A < c < B, \quad \text{但 } \forall x \in I, f(x) \neq c
提示：注意单调性保证 $f(x) \leq A$ 当 $x < x_0$，$f(x) \geq B$ 当 $x > x_0$，因此 $c$ 被跳过。
步骤 5/5
目标：总结结论
由反证法可知，单调且有原函数的函数 $f$ 在区间 $I$ 上不可能有跳跃间断点，而单调函数的不连续点只能是跳跃间断点，因此 $f$ 在 $I$ 上连续。原命题正确。
公式：\text{结论：} f \text{ 在 } I \text{ 上连续}
提示：本证明依赖于单调函数的间断点类型和导数的介值性，两者缺一不可。
步骤 6/6
目标：由 $x_0$ 的任意性得 $f$ 在 $I$ 上连续
由于 $x_0$ 是 $I$ 中任意一点，故 $f$ 在 $I$ 上每一点都连续，即 $f$ 在 $I$ 上连续。
提示：注意区间 $I$ 可能是开区间、闭区间或半开半闭，但证明对任意内点成立；端点处类似考虑单侧极限。
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