📝 华东师范大学 2018年数学分析真题

1．若对任意的 $N$ ，总存在 $\varepsilon>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$ 成立，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．

2．若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调且存在原函数，则 $f(x)$ 在 $I$ 上连续．

3．若函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处沿任意方向的方向导数均存在，则 $f(x, y)$ 在该点处连续．

4．若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 内均一致连续，则 $f(x) g(x)$ 在 $(0,1)$ 内也一致连续．

5．若 $a_{n} \leqslant b_{n} \leqslant c_{n}(n=1,2, \ldots)$ 且级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{+\infty} c_{n}$ 都收玫，则级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}$ 也收玫。

6．若广义积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 皆绝对收敛，则 $\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 收敛。

7．计算极限

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sqrt{1+\cos \frac{\pi}{n}}+\sqrt{1+\cos \frac{2 \pi}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\cos \frac{n \pi}{n}}\right) .
$$

8．设函数 $\displaystyle z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+g\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，$g$ 二阶连续可导，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

9．设函数

$$
f(x)=\lim _{a \rightarrow x}\left(\frac{\sin a}{\sin x}\right)^{\frac{x}{\sin a-\sin x}},
$$

求 $f(x)$ 的所有间断点并判断其类型．

10．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{n-1}}$ 的和．

11．计算曲面积分

$$
\iint_{\Sigma} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
$$

其中 $\sum$ 为下半球面 $z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧，$a>0$ 为常数。

12．已知函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上收敛于连续函数 $f(x)$ 。证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f(x)$ 的充要条件为：对任意数列 $\left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ ，且 $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=x_{0}$ ，有

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)
$$

13．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，且 $f(0)=0,0 \leqslant f^{\prime}(x) \leqslant 1$ ，证明不等式

$$
\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \geq \int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x
$$

14．已知函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A \in \mathbb{R}$ ，证：
（1）．$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有界且一致连续；
（2）． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=A$ ．

15．设函数

$$
F(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\left(1-e^{-x t}\right) \cos t}{t} \mathrm{~d} t
$$

试证：$F(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 内可导．

16．设级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上处处收玫，每一个 $u_{n}(x)$ 均在 $[a, b]$ 上连续可导，且存在常数 $M>0$ ，使得 $\left|\sum_{k=1}^{n} u_{k}^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ 对任意 $x \in[a, b]$ 及 $n \in \mathbb{N}_{+}$成立，证明：$\sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收玫。

17．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ，又 $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ 为 $n$ 个正数，证明：在 $(0,1)$ 内存在一组互异的数 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ ，使得

$$
\sum_{i=1}^{n} \frac{p_{i}}{f^{\prime}\left(x_{i}\right)}=\sum_{i=1}^{n} p_{i}
$$